贡献者： 零穹; addis
1悬链线（catenary）在物理上是指一条粗细不计的、质量均匀分布的柔软绳子两端悬挂在相同高度的两个点后（图 1 ）当绳子在重力作用下达到平衡后形成的曲线。
图 1：悬链线
令绳子的最低点横坐标为 $x = 0$，水平向右为 $x$ 轴，竖直向上为 $y$ 轴。那么悬链线可以用函数 $y(x)$ 来表示为2
\begin{equation}
y(x) = \frac{1}{k} \cosh\left(kx\right) ~.
\end{equation}
其中 $\cosh$ 是双曲余弦函数
，常数 $k$ 满足
\begin{equation}
\sinh\left(\frac{ka}{2}\right) = \frac{kL}{2}~.
\end{equation}
其中 $a$ 是两个悬挂点之间的距离，$L$ 是绳子的总长度。
高度不相等的情况
图 2：悬挂点左低右高的悬链线
如图 2 ，假设悬挂点左低右高，水平距离为 $a'$，高度差为 $h' > 0$，绳长为 $L'$。悬链线仍然具有式 1 的形式，我们希望根据 $a', h', L'$ 求出 $k$。若把左边的悬链线补全到和右边一样的高度后，悬链线仍然关于最低点对称，令补全后两端相距为 $a$（在下文推导中会使用），那么 $k$ 满足
\begin{equation}
\cosh\left(ka'\right) - 1 = \frac{k^2}{2}(L'^2 - h'^2)~,
\end{equation}
注意左边的悬挂点未必需要在最低点的左边。另外根据
式 3 可以验证当 $L' = h'$ 时，$a' = 0$。
1. 推导（受力分析法）
图 3：受力分析
假设原点处的张力为 $T$，绳的线密度为 $\lambda$，那么区间 $[0, x]$ 的曲线长度为（式 2 ）
\begin{equation}
L(x) = \int_0^x \sqrt{1 + \dot y(x')^2} \,\mathrm{d}{x'} ~.
\end{equation}
其中 $\dot y$ 表示函数 $y(x)$ 的导函数，下文中 $\ddot y$ 则表示二阶导函数）。区间 $[0, x]$ 所受重力为 $G = \lambda L g$。根据受力分析，$x$ 点的斜率为 $G/T$，这样就得到了悬链线 $y(x)$ 的微分—积分方程
\begin{equation}
\dot y = \frac{g\lambda}{T} \int_0^x \sqrt{1 + \dot y^2} \,\mathrm{d}{x'} ~.
\end{equation}
两边对 $x$ 再次求导得二阶微分方程
未完成：如何对积分上限求导？放链接
\begin{equation}
\ddot y = k \sqrt{1 + \dot y^2}~,
\end{equation}
其中令 $k = g\lambda/T$。注意这是一个非线性二阶常微分方程，我们还没学过如何求解。但可以证明它的通解为
\begin{equation}
y(x) = \frac{1}{k} \cosh\left(kx+C_0\right) +C_1~,
\end{equation}
其中，$C_0,C_1$ 为常数。
考虑到整个系统的对称性，$y(x)$ 是偶函数，这意味着 $C_0=0$，又 $y(0)=0$，所以 $C_1=-\frac{1}{k}$，我们有
\begin{equation}
y(x)=\frac{1}{k}[ \cosh\left(kx\right) -1]~.
\end{equation}
那么，如果已知两个悬挂点之间距离为 $a$，绳子总长度为 $L$，以及 $\lambda, g$。如何求出 $k$ 或拉力 $T$ 呢？根据
式 4 有限制条件
\begin{equation}
\frac{L}{2} = \int_{0}^{\frac{a}{2}} \sqrt{1 + \dot y^2} \,\mathrm{d}{x'} ~.
\end{equation}
把
式 8 代入有
\begin{equation}
\frac{2}{k} \sinh\left(\frac{ka}{2}\right) = L~,
\end{equation}
这样就可以解出 $k$，进而求出 $T$。
高度不相等的情况
根据高度差 $h'$ 的定义可得
\begin{equation}
\frac{1}{k} \cosh\left(k\frac{a}{2}\right) - \frac{1}{k}\cosh \left[k \left(\frac{a}{2}-a' \right) \right] = h'~.
\end{equation}
由绳长的约束得
\begin{equation}
L' = \int_{a/2-a'}^{a/2} \sqrt{1 + \dot y(x')^2} \,\mathrm{d}{x'} ~.
\end{equation}
把
式 1 代入该式后化简得
\begin{equation}
\frac{1}{k} \sinh\left(k\frac{a}{2}\right) - \frac{1}{k}\sinh \left[k \left(\frac{a}{2}-a' \right) \right] = L'~.
\end{equation}
分别把
式 11 和
式 13 相加和相减得
\begin{equation}
a = \frac{2}{k} \ln\frac{k(h'+L')}{1 - \mathrm{e} ^{-ka'}}~,
\qquad
a = -\frac{2}{k} \ln\frac{k(h'-L')}{1 - \mathrm{e} ^{ka'}}~,
\end{equation}
令两式右边相等得
式 3 。
2. 推导（欧拉—拉格朗日方程法）
在该问题中，悬挂点是固定的两个点，绳子可看成经过这两个点的总长为 $L$ 的曲线，由能量最低原理，我们知道绳子对应曲线的形状将使得绳子的质心最低，曲线可用一个函数表示，那么问题就变成求这样一个函数，使得绳子质心最低，这显然是一个极值问题，更明确的说，是一个求泛函极值的问题。求解这样的问题的普遍方法为变分法。
我们以地面水平方向为 $x$ 轴，两悬挂点水平方向中垂线为 $y$ 轴，则两悬挂点 $x$ 坐标分别为 $-\frac{a}{2}$ 和 $\frac{a}{2}$，绳子对应的曲线函数为 $y(x)$，绳长 $L$，质量为 $m$，则其质心的 $y$ 坐标为
\begin{equation}
y_C=\frac{\int_{0}^{L}y(\frac{m}{L} \,\mathrm{d}{s} )}{m}=\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \frac{y\sqrt{1+y'^2}}{L} \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
现在，问题就转化为求 $y(x)$，使得 $y_C$ 最小。这个问题可用欧拉-拉格朗日方程
式 1 求解。
注意，上式的被积函数是 $y,y'$ 的函数，而与 $x$ 无关，直接用拉格朗日方程不好求解。这时候我们要先对被积函数变一下形。以 $F(y,y')$ 表示被积函数：
\begin{equation}
F(y,y')=\frac{y\sqrt{1+y'^2}}{L}~.
\end{equation}
我们将自变数 $x$ 更换为 $y$，则 $x$ 是 $y$ 的函数。于是我们的问题就变成求积分
\begin{equation}
y_C=\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} F(y,\frac{1}{ \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} }) \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} \,\mathrm{d}{y} ~
\end{equation}
的极值曲线，令
\begin{equation}
x'= \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} ,\quad \phi(y,x')=x'F(y,\frac{1}{x'})~,
\end{equation}
则
\begin{equation}
y_C=\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \phi(y,x') \,\mathrm{d}{y} ~.
\end{equation}
现在，函数 $\phi(y,x')$ 包含自变量 $y$，我们就可以使用拉格朗日方程求解。回想拉格朗日方程的推导，不难看出，$\phi(y,x')$ 代表拉格朗日函数 $L(t,q,q')$, $y$ 代表拉格朗日方程中的 $t$，而 $x,x'$ 分别代表 $q,q'$。代入拉格朗日方程式 1 ，由于 $\phi(y,x')$ 不显含 $x$，有
\begin{equation}
\frac{\partial \phi}{\partial x'} =C~,
\end{equation}
其中 $C$ 为常数。代入
式 18
\begin{equation}
F(y,y')-y'F_{y'}(y,y')=C~.
\end{equation}
代入
式 16 ，得
\begin{equation}
\frac{y\sqrt{1+y'^2}}{L}-\frac{yy'^2}{L\sqrt{1+y'^2}}=C~.
\end{equation}
整理得
\begin{equation}
y'=\frac{\sqrt{y^2-(CL)^2}}{CL}~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{\sqrt{y^2-(CL)^2}}=\frac{ \,\mathrm{d}{x} }{CL}~.
\end{equation}
两边积分，右边为
\begin{equation}
\frac{x}{CL}+C'~,
\end{equation}
其中 $C'$ 为常数。
左边，令 $y=CL\cosh t $，易得左边为
\begin{equation}
t+C''~.
\end{equation}
其中，$C''$ 为常数。于是
\begin{equation}
t+C''=\frac{x}{CL}+C'\Rightarrow t=\frac{x}{CL}+C_0~.
\end{equation}
其中，$C_0=C'-C''$ 为常数。
由于 $t=f^{-1}(y)$ 是 $y=f(t)=CL\cosh t$ 的反函数，代入上式
\begin{equation}
y=f \left(\frac{x}{CL}+C_0 \right) =CL \cosh\left(\frac{x}{CL}+C_0\right) ~.
\end{equation}
以最低点为零点，代入边界条件 $y(0)=0$，得
\begin{equation}
y(0)=CL \cosh\left(C_0\right) =0\Rightarrow C_0=0~.
\end{equation}
即
\begin{equation}
y(x)=CL \cosh \frac{x}{CL}~,
\end{equation}
令 $k=\frac{1}{CL}$，则
\begin{equation}
y=\frac{1}{k} \cosh\left(kx\right) ~.
\end{equation}
此为
式 1
约束条件为绳长为 $L$，即满足
\begin{equation}
L = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \sqrt{1 + \dot y^2} \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
上式代入
式 31 ，解得
\begin{equation}
\frac{2}{k} \sinh\left(\frac{ka}{2}\right) = L~.
\end{equation}
此为
式 2
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 可加减任意常数，此处略去。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
