贡献者： 零穹; addis
1悬链线（catenary）在物理上是指一条粗细不计的、质量均匀分布的柔软绳子两端悬挂在相同高度的两个点后（图 1 ）当绳子在重力作用下达到平衡后形成的曲线。
图 1：悬链线
令绳子的最低点横坐标为 $x = 0$，水平向右为 $x$ 轴，竖直向上为 $y$ 轴。那么悬链线可以用函数 $y(x)$ 来表示为2
\begin{equation}
y(x) = \frac{1}{k} \cosh\left(kx\right) ~.
\end{equation}
其中 $\cosh$ 是
双曲余弦函数，常数 $k$ 满足
\begin{equation}
\sinh\left(\frac{ka}{2}\right) = \frac{kL}{2}~.
\end{equation}
其中 $a$ 是两个悬挂点之间的距离，$L$ 是绳子的总长度。
高度不相等的情况
图 2：悬挂点左低右高的悬链线
如图 2 ，假设悬挂点左低右高，水平距离为 $a'$，高度差为 $h' > 0$，绳长为 $L'$。悬链线仍然具有式 1 的形式，我们希望根据 $a', h', L'$ 求出 $k$。若把左边的悬链线补全到和右边一样的高度后，悬链线仍然关于最低点对称，令补全后两端相距为 $a$（在下文推导中会使用），那么 $k$ 满足
\begin{equation}
\cosh\left(ka'\right) - 1 = \frac{k^2}{2}(L'^2 - h'^2)~,
\end{equation}
注意左边的悬挂点未必需要在最低点的左边。另外根据
式 3 可以验证当 $L' = h'$ 时，$a' = 0$。
1. 推导（受力分析法）
图 3：受力分析
假设原点处的张力为 $T$，绳的线密度为 $\lambda$，那么区间 $[0, x]$ 的曲线长度为（式 2 ）
\begin{equation}
L(x) = \int_0^x \sqrt{1 + \dot y(x')^2} \,\mathrm{d}{x'} ~.
\end{equation}
其中 $\dot y$ 表示函数 $y(x)$ 的导函数，下文中 $\ddot y$ 则表示二阶导函数）。区间 $[0, x]$ 所受重力为 $G = \lambda L g$。根据受力分析，$x$ 点的斜率为 $G/T$，这样就得到了悬链线 $y(x)$ 的微分—积分方程
\begin{equation}
\dot y = \frac{g\lambda}{T} \int_0^x \sqrt{1 + \dot y^2} \,\mathrm{d}{x'} ~.
\end{equation}
两边对 $x$ 再次求导得二阶微分方程
未完成：如何对积分上限求导？放链接
\begin{equation}
\ddot y = k \sqrt{1 + \dot y^2}~,
\end{equation}
其中令 $k = g\lambda/T$。注意这是一个非线性二阶常微分方程，我们还没学过如何求解。但可以证明它的通解为
\begin{equation}
y(x) = \frac{1}{k} \cosh\left(kx+C_0\right) +C_1~,
\end{equation}
其中，$C_0,C_1$ 为常数。
考虑到整个系统的对称性，$y(x)$ 是偶函数，这意味着 $C_0=0$，又 $y(0)=0$，所以 $C_1=-\frac{1}{k}$，我们有
\begin{equation}
y(x)=\frac{1}{k}[ \cosh\left(kx\right) -1]~.
\end{equation}
那么，如果已知两个悬挂点之间距离为 $a$，绳子总长度为 $L$，以及 $\lambda, g$。如何求出 $k$ 或拉力 $T$ 呢？根据
式 4 有限制条件
\begin{equation}
\frac{L}{2} = \int_{0}^{\frac{a}{2}} \sqrt{1 + \dot y^2} \,\mathrm{d}{x'} ~.
\end{equation}
把
式 8 代入有
\begin{equation}
\frac{2}{k} \sinh\left(\frac{ka}{2}\right) = L~,
\end{equation}
这样就可以解出 $k$，进而求出 $T$。
高度不相等的情况
根据高度差 $h'$ 的定义可得
\begin{equation}
\frac{1}{k} \cosh\left(k\frac{a}{2}\right) - \frac{1}{k}\cosh \left[k \left(\frac{a}{2}-a' \right) \right] = h'~.
\end{equation}
由绳长的约束得
\begin{equation}
L' = \int_{a/2-a'}^{a/2} \sqrt{1 + \dot y(x')^2} \,\mathrm{d}{x'} ~.
\end{equation}
把
式 1 代入该式后化简得
\begin{equation}
\frac{1}{k} \sinh\left(k\frac{a}{2}\right) - \frac{1}{k}\sinh \left[k \left(\frac{a}{2}-a' \right) \right] = L'~.
\end{equation}
分别把
式 11 和
式 13 相加和相减得
\begin{equation}
a = \frac{2}{k} \ln\frac{k(h'+L')}{1 - \mathrm{e} ^{-ka'}}~,
\qquad
a = -\frac{2}{k} \ln\frac{k(h'-L')}{1 - \mathrm{e} ^{ka'}}~,
\end{equation}
令两式右边相等得
式 3 。
2. 推导（欧拉—拉格朗日方程法）
在该问题中，悬挂点是固定的两个点，绳子可看成经过这两个点的总长为 $L$ 的曲线，由能量最低原理，我们知道绳子对应曲线的形状将使得绳子的质心最低，曲线可用一个函数表示，那么问题就变成求这样一个函数，使得绳子质心最低，这显然是一个极值问题，更明确的说，是一个求泛函极值的问题。求解这样的问题的普遍方法为变分法。
我们以地面水平方向为 $x$ 轴，两悬挂点水平方向中垂线为 $y$ 轴，则两悬挂点 $x$ 坐标分别为 $-\frac{a}{2}$ 和 $\frac{a}{2}$，绳子对应的曲线函数为 $y(x)$，绳长 $L$，质量为 $m$，则其质心的 $y$ 坐标为
\begin{equation}
y_C=\frac{\int_{0}^{L}y(\frac{m}{L} \,\mathrm{d}{s} )}{m}=\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \frac{y\sqrt{1+y'^2}}{L} \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
现在，问题就转化为求 $y(x)$，使得 $y_C$ 最小。这个问题可用欧拉-拉格朗日方程
式 1 求解。
注意，上式的被积函数是 $y,y'$ 的函数，而与 $x$ 无关，直接用拉格朗日方程不好求解。这时候我们要先对被积函数变一下形。以 $F(y,y')$ 表示被积函数：
\begin{equation}
F(y,y')=\frac{y\sqrt{1+y'^2}}{L}~.
\end{equation}
我们将自变数 $x$ 更换为 $y$，则 $x$ 是 $y$ 的函数。于是我们的问题就变成求积分
\begin{equation}
y_C=\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} F(y,\frac{1}{ \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} }) \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} \,\mathrm{d}{y} ~
\end{equation}
的极值曲线，令
\begin{equation}
x'= \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} ,\quad \phi(y,x')=x'F(y,\frac{1}{x'})~,
\end{equation}
则
\begin{equation}
y_C=\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \phi(y,x') \,\mathrm{d}{y} ~.
\end{equation}
现在，函数 $\phi(y,x')$ 包含自变量 $y$，我们就可以使用拉格朗日方程求解。回想拉格朗日方程的推导，不难看出，$\phi(y,x')$ 代表拉格朗日函数 $L(t,q,q')$, $y$ 代表拉格朗日方程中的 $t$，而 $x,x'$ 分别代表 $q,q'$。代入拉格朗日方程式 1 ，由于 $\phi(y,x')$ 不显含 $x$，有
\begin{equation}
\frac{\partial \phi}{\partial x'} =C~,
\end{equation}
其中 $C$ 为常数。代入
式 18
\begin{equation}
F(y,y')-y'F_{y'}(y,y')=C~.
\end{equation}
代入
式 16 ，得
\begin{equation}
\frac{y\sqrt{1+y'^2}}{L}-\frac{yy'^2}{L\sqrt{1+y'^2}}=C~.
\end{equation}
整理得
\begin{equation}
y'=\frac{\sqrt{y^2-(CL)^2}}{CL}~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{\sqrt{y^2-(CL)^2}}=\frac{ \,\mathrm{d}{x} }{CL}~.
\end{equation}
两边积分，右边为
\begin{equation}
\frac{x}{CL}+C'~,
\end{equation}
其中 $C'$ 为常数。
左边，令 $y=CL\cosh t $，易得左边为
\begin{equation}
t+C''~.
\end{equation}
其中，$C''$ 为常数。于是
\begin{equation}
t+C''=\frac{x}{CL}+C'\Rightarrow t=\frac{x}{CL}+C_0~.
\end{equation}
其中，$C_0=C'-C''$ 为常数。
由于 $t=f^{-1}(y)$ 是 $y=f(t)=CL\cosh t$ 的反函数，代入上式
\begin{equation}
y=f \left(\frac{x}{CL}+C_0 \right) =CL \cosh\left(\frac{x}{CL}+C_0\right) ~.
\end{equation}
以最低点为零点，代入边界条件 $y(0)=0$，得
\begin{equation}
y(0)=CL \cosh\left(C_0\right) =0\Rightarrow C_0=0~.
\end{equation}
即
\begin{equation}
y(x)=CL \cosh \frac{x}{CL}~,
\end{equation}
令 $k=\frac{1}{CL}$，则
\begin{equation}
y=\frac{1}{k} \cosh\left(kx\right) ~.
\end{equation}
此为
式 1
约束条件为绳长为 $L$，即满足
\begin{equation}
L = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \sqrt{1 + \dot y^2} \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
上式代入
式 31 ，解得
\begin{equation}
\frac{2}{k} \sinh\left(\frac{ka}{2}\right) = L~.
\end{equation}
此为
式 2
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 可加减任意常数，此处略去。
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