悬链线

             

预备知识 双曲函数,常微分方程

  1悬链线(catenary)在物理上是指一条粗细不计的、质量均匀分布的柔软绳子两端悬挂在相同高度的两个点后(图 1 )当绳子在重力作用下达到平衡后形成的曲线.

图
图 1:悬链线

   令绳子的最低点横坐标为 $x = 0$,水平向右为 $x$ 轴,竖直向上为 $y$ 轴.那么悬链线可以用函数 $y(x)$ 来表示为

\begin{equation} y(x) = \frac{1}{k} \cosh\left(kx\right) \end{equation}
其中 $\cosh$ 是双曲余弦函数,常数 $k$ 满足
\begin{equation} \sinh\left(\frac{ka}{2}\right) = \frac{kL}{2} \end{equation}
其中 $a$ 是两个悬挂点之间的距离,$L$ 是绳子的总长度.

高度不相等的情况

图
图 2:悬挂点左低右高的悬链线

   如图 2 ,假设悬挂点左低右高,水平距离为 $a'$,高度差为 $h' > 0$,绳长为 $L'$.悬链线仍然具有式 1 的形式,我们希望根据 $a', h', L'$ 求出 $k$.若假设如果把左边的悬链线补全到和右边一样的高度后,绳两端相距为 $a$(在下文推导中会使用),那么 $k$ 满足

\begin{equation} \cosh\left(ka'\right) - 1 = \frac{k^2}{2}(L'^2 - h'^2) \end{equation}
注意左边的悬挂点未必需要在最低点的左边.另外根据式 3 可以验证当 $L' = h'$ 时,$a' = 0$.

1. 推导(受力分析法)

预备知识 曲线的长度,常微分方程,最小作用量 哈密顿原理
图
图 3:受力分析

   假设原点处的张力为 $T$,绳的线密度为 $\lambda$,那么区间 $[0, x]$ 的曲线长度为(式 2

\begin{equation} L(x) = \int_0^x \sqrt{1 + \dot y(x')^2} \,\mathrm{d}{x'} \end{equation}
其中 $\dot y$ 表示函数 $y(x)$ 的导函数,下文中 $\ddot y$ 则表示二阶导函数).区间 $[0, x]$ 所受重力为 $G = \lambda L g$.根据受力分析,$x$ 点的斜率为 $G/T$,这样就得到了悬链线 $y(x)$ 的微分—积分方程
\begin{equation} \dot y = \frac{g\lambda}{T} \int_0^x \sqrt{1 + \dot y^2} \,\mathrm{d}{x'} \end{equation}
两边对 $x$ 再次求导得二阶微分方程
未完成:如何对积分上限求导?放链接
\begin{equation} \ddot y = k \sqrt{1 + \dot y^2} \end{equation}
其中令 $k = g\lambda/T$.注意这是一个非线性二阶常微分方程,我们还没学过如何求解.但可以证明它的通解为
\begin{equation} y(x) = \frac{1}{k} \cosh\left(kx+C_0\right) +C_1 \end{equation}
其中,$C_0,C_1$ 为常数. 考虑到整个系统的对称性,$y(x)$ 是偶函数,这意味着 $C_0=0$,又 $y(0)=0$,所以 $C_1=-\frac{1}{k}$,我们有
\begin{equation} y(x)=\frac{1}{k}[ \cosh\left(kx\right) -1] \end{equation}

   那么,如果已知两个悬挂点之间距离为 $a$,绳子总长度为 $L$,以及 $\lambda, g$.如何求出 $k$ 或拉力 $T$ 呢?根据式 4 有限制条件

\begin{equation} \frac{L}{2} = \int_{0}^{\frac{a}{2}} \sqrt{1 + \dot y^2} \,\mathrm{d}{x'} \end{equation}
式 8 代入有
\begin{equation} \frac{2}{k} \sinh\left(\frac{ka}{2}\right) = L \end{equation}
这样就可以解出 $k$,进而求出 $T$.

高度不相等的情况

   根据高度差 $h'$ 的定义可得

\begin{equation} \frac{1}{k} \cosh\left(k\frac{a}{2}\right) - \frac{1}{k}\cosh \left[k \left(\frac{a}{2}-a' \right) \right] = h' \end{equation}
由绳长的约束得
\begin{equation} L' = \int_{a/2-a'}^{a/2} \sqrt{1 + \dot y(x')^2} \,\mathrm{d}{x'} \end{equation}
式 1 代入该式后化简得
\begin{equation} \frac{1}{k} \sinh\left(k\frac{a}{2}\right) - \frac{1}{k}\sinh \left[k \left(\frac{a}{2}-a' \right) \right] = L' \end{equation}
分别把 式 11 式 13 相加和相减得
\begin{equation} a = \frac{2}{k} \ln\frac{k(h'+L')}{1 - \mathrm{e} ^{-ka'}} \qquad a = -\frac{2}{k} \ln\frac{k(h'-L')}{1 - \mathrm{e} ^{ka'}} \end{equation}
令两式右边相等得式 3

2. 推导(欧拉—拉格朗日方程法)

   在该问题中,悬挂点是固定的两个点,绳子可看成经过这两个点的总长为 $L$ 的曲线,由能量最低原理,我们知道绳子对应曲线的形状将使得绳子的质心最低,曲线可用一个函数表示,那么问题就变成求这样一个函数,使得绳子质心最低,这显然是一个极值问题,更明确的说,是一个求泛函极值的问题.求解这样的问题的普遍方法为变分法.

   我们以地面水平方向为 $x$ 轴,两悬挂点水平方向中垂线为 $y$ 轴,则两悬挂点 $x$ 坐标分别为 $-\frac{a}{2}$ 和 $\frac{a}{2}$,绳子对应的曲线函数为 $y(x)$,绳长 $L$,质量为 $m$,则其质心的 $y$ 坐标为

\begin{equation} y_C=\frac{\int_{0}^{L}y(\frac{m}{L} \,\mathrm{d}{s} )}{m}=\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \frac{y\sqrt{1+y'^2}}{L} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
现在,问题就转化为求 $y(x)$,使得 $y_C$ 最小.这个问题可用欧拉-拉格朗日方程式 1 求解.

   注意,上式的被积函数是 $y,y'$ 的函数,而与 $x$ 无关,直接用拉格朗日方程不好求解.这时候我们要先对被积函数变一下形.以 $F(y,y')$ 表示被积函数:

\begin{equation} F(y,y')=\frac{y\sqrt{1+y'^2}}{L} \end{equation}
我们将自变数 $x$ 更换为 $y$,则 $x$ 是 $y$ 的函数.于是我们的问题就变成求积分
\begin{equation} y_C=\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} F(y,\frac{1}{ \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} }) \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
的极值曲线,令
\begin{equation} x'= \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} ,\quad \phi(y,x')=x'F(y,\frac{1}{x'}) \end{equation}
\begin{equation} y_C=\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \phi(y,x') \,\mathrm{d}{y} \end{equation}

   现在,函数 $\phi(y,x')$ 包含自变量 $y$,我们就可以使用拉格朗日方程求解.回想拉格朗日方程的推导,不难看出,$\phi(y,x')$ 代表拉格朗日函数 $L(t,q,q')$, $y$ 代表拉格朗日方程中的 $t$,而 $x,x'$ 分别代表 $q,q'$.代入拉格朗日方程式 1 ,由于 $\phi(y,x')$ 不显含 $x$,有

\begin{equation} \frac{\partial \phi}{\partial x'} =C \end{equation}
其中 $C$ 为常数.代入式 18
\begin{equation} F(y,y')-y'F_{y'}(y,y')=C \end{equation}
代入式 16 ,得
\begin{equation} \frac{y\sqrt{1+y'^2}}{L}-\frac{yy'^2}{L\sqrt{1+y'^2}}=C \end{equation}
整理得
\begin{equation} y'=\frac{\sqrt{y^2-(CL)^2}}{CL} \end{equation}
\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{\sqrt{y^2-(CL)^2}}=\frac{ \,\mathrm{d}{x} }{CL} \end{equation}
两边积分,右边为
\begin{equation} \frac{x}{CL}+C' \end{equation}
其中 $C'$ 为常数. 左边,令 $y=CL\cosh t $,易得左边为
\begin{equation} t+C'' \end{equation}
其中,$C''$ 为常数.于是
\begin{equation} t+C''=\frac{x}{CL}+C'\Rightarrow t=\frac{x}{CL}+C_0 \end{equation}
其中,$C_0=C'-C''$ 为常数.

   由于 $t=f^{-1}(y)$ 是 $y=f(t)=CL\cosh t$ 的反函数,代入上式

\begin{equation} y=f \left(\frac{x}{CL}+C_0 \right) =CL\cosh \frac{x}{CL}+C_0 \end{equation}
代入 $x=0$,得到最低点的 $y$ 值
\begin{equation} y(0)=CL+C_0 \end{equation}
若以最低点为原点,坐标轴 $x,y$ 方向不变,那么 式 28 变为
\begin{equation} y=CL \left(\cosh \frac{x}{CL}-1 \right) \end{equation}
令 $k=\frac{1}{CL}$,则
\begin{equation} y=\frac{1}{k}[ \cosh\left(kx\right) -1] \end{equation}
约束条件为绳长为 $L$,即满足
\begin{equation} L = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \sqrt{1 + \dot y^2} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
上式代入式 31 ,解得
\begin{equation} \frac{2}{k} \sinh\left(\frac{ka}{2}\right) = L \end{equation}


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

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