绳的法向压力

                     

贡献者: addis

预备知识 定积分

   我们知道当一根质量忽略不计的绳子紧绷时,如果它不受任何法相的力(即垂直于绳的力),它将保持一条直线。如果绳的一部分存在弯曲,则说明该部分受法向力。如图 1 ,水平放置的绳子的张力为 $T$,经过半径为 $R$ 的滑轮后弯曲了 $\theta$ 角。由于我们假设滑轮与绳之间无摩擦1,经过滑轮后绳的张力仍然为 $T$。

图
图 1:滑轮对绳的线压强

   显然,绳弯曲是由于在于滑轮接触的部分处处都受到法向的力。为了描述这种力的大小,我们取长度为 $\Delta l$ 的一小段绳(弯曲忽略不计),若它受法向力大小为 $\Delta F$,就用 $\Delta F/\Delta l$ 来描述法向力的大小。当 $\Delta l \to 0$,就记为 $ \mathrm{d}{F}/\mathrm{d}{l} $,称为线压强,是一个标量(压强是单位面积的压力,线压强是单位长度的压力)。注意力是相互的,滑轮对绳的压力与绳对滑轮的压力处处等大反向,所以总压力也等大反向。

   绳子每点处的线压强与什么有关呢?由直觉我们可以猜到它和绳的张力成正比,和滑轮的半径有关,但与 $\theta$ 无关。我们先假设接触的部分先压强处处相等,对绳做受力分析。

   绳能保持静止,说明它受到的合力为 0,即两端的拉力以及滑轮对它的力相加为 0。若我们只考所有力的 $z$ 分量,可知滑轮对绳向上的分离等于绳右端拉力的 $z$ 分量,大小为 $T \sin\theta$。

   滑轮对绳合的 $z$ 分量可以用定积分计算

\begin{equation} F_z = \int_0^\theta \cos\theta' \frac{\mathrm{d}{F}}{\mathrm{d}{l}} R \,\mathrm{d}{\theta'} = \frac{\mathrm{d}{F}}{\mathrm{d}{l}} R \int_0^\theta \cos\theta' \,\mathrm{d}{\theta'} = \frac{\mathrm{d}{F}}{\mathrm{d}{l}} R \sin\theta~. \end{equation}
所以有
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{F}}{\mathrm{d}{l}} R \sin\theta = T \sin\theta~, \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{F}}{\mathrm{d}{l}} = \frac{T}{R}~. \end{equation}
所以线压强与张力成正比,和曲率半径成反比。这符合我们上面的猜测。

   我们可以验证水平方向也有受力平衡,滑轮对绳水平方向的合力为(向右为正)

\begin{equation} \int_0^\theta \sin\theta' \frac{\mathrm{d}{F}}{\mathrm{d}{l}} R \,\mathrm{d}{\theta'} = \frac{\mathrm{d}{F}}{\mathrm{d}{l}} R \int_0^\theta \sin\theta' \,\mathrm{d}{\theta'} = \frac{\mathrm{d}{F}}{\mathrm{d}{l}} R (1 - \cos\theta) = T(1 - \cos\theta)~. \end{equation}
绳子两端的拉力在水平方向的合力为 $-T + T\cos\theta$,所以水平合力同样为 0。

   对于任意弯曲且光滑的绳子,要计算它任意一点受到的线压强,我们只需要知道该点处的张力与曲率半径 $\rho$ 即可,即

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{F}}{\mathrm{d}{l}} = \frac{T}{\rho}~. \end{equation}

例 1 磁场中线圈的张力

   一个垂直纸面向外的匀强磁场中,强度为 $B$。有一个平行纸面放置的柔软单股线圈。当线圈中通有逆时针电流 $I$ 时,线圈就会受到向外的安培力并紧绷成一个圆形。求线圈的张力。

   解:磁场对线圈的线压强在这里由安培力充当,我们可以首先把线圈划分为许多小段,每段长度为 $\Delta l$,且近似为直线。则每段所受安培力为

\begin{equation} \Delta F = IB\Delta l~, \end{equation}
所以线压强为 $IB$。由式 3 得张力为 $T = RIB$。


1. ^ 等效地,也可以假设滑轮可以无摩擦滚动


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