贡献者： addis
我们知道当一根质量忽略不计的绳子紧绷时，如果它不受任何法相的力（即垂直于绳的力），它将保持一条直线。如果绳的一部分存在弯曲，则说明该部分受法向力。如图 1 ，水平放置的绳子的张力为 $T$，经过半径为 $R$ 的滑轮后弯曲了 $\theta$ 角。由于我们假设滑轮与绳之间无摩擦1，经过滑轮后绳的张力仍然为 $T$。
图 1：滑轮对绳的线压强
显然，绳弯曲是由于在于滑轮接触的部分处处都受到法向的力。为了描述这种力的大小，我们取长度为 $\Delta l$ 的一小段绳（弯曲忽略不计），若它受法向力大小为 $\Delta F$，就用 $\Delta F/\Delta l$ 来描述法向力的大小。当 $\Delta l \to 0$，就记为 $ \mathrm{d}{F}/\mathrm{d}{l} $，称为线压强，是一个标量（压强是单位面积的压力，线压强是单位长度的压力）。注意力是相互的，滑轮对绳的压力与绳对滑轮的压力处处等大反向，所以总压力也等大反向。
绳子每点处的线压强与什么有关呢？由直觉我们可以猜到它和绳的张力成正比，和滑轮的半径有关，但与 $\theta$ 无关。我们先假设接触的部分先压强处处相等，对绳做受力分析。
绳能保持静止，说明它受到的合力为 0，即两端的拉力以及滑轮对它的力相加为 0。若我们只考所有力的 $z$ 分量，可知滑轮对绳向上的分离等于绳右端拉力的 $z$ 分量，大小为 $T \sin\theta$。
滑轮对绳合的 $z$ 分量可以用定积分计算
\begin{equation}
F_z = \int_0^\theta \cos\theta' \frac{\mathrm{d}{F}}{\mathrm{d}{l}} R \,\mathrm{d}{\theta'}
= \frac{\mathrm{d}{F}}{\mathrm{d}{l}} R \int_0^\theta \cos\theta' \,\mathrm{d}{\theta'}
= \frac{\mathrm{d}{F}}{\mathrm{d}{l}} R \sin\theta~.
\end{equation}
所以有
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{F}}{\mathrm{d}{l}} R \sin\theta = T \sin\theta~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{F}}{\mathrm{d}{l}} = \frac{T}{R}~.
\end{equation}
所以线压强与张力成正比，和曲率半径成反比。这符合我们上面的猜测。
我们可以验证水平方向也有受力平衡，滑轮对绳水平方向的合力为（向右为正）
\begin{equation}
\int_0^\theta \sin\theta' \frac{\mathrm{d}{F}}{\mathrm{d}{l}} R \,\mathrm{d}{\theta'}
= \frac{\mathrm{d}{F}}{\mathrm{d}{l}} R \int_0^\theta \sin\theta' \,\mathrm{d}{\theta'}
= \frac{\mathrm{d}{F}}{\mathrm{d}{l}} R (1 - \cos\theta)
= T(1 - \cos\theta)~.
\end{equation}
绳子两端的拉力在水平方向的合力为 $-T + T\cos\theta$，所以水平合力同样为 0。
对于任意弯曲且光滑的绳子，要计算它任意一点受到的线压强，我们只需要知道该点处的张力与曲率半径 $\rho$ 即可，即
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{F}}{\mathrm{d}{l}} = \frac{T}{\rho}~.
\end{equation}
例 1 磁场中线圈的张力
一个垂直纸面向外的匀强磁场中，强度为 $B$。有一个平行纸面放置的柔软单股线圈。当线圈中通有逆时针电流 $I$ 时，线圈就会受到向外的安培力并紧绷成一个圆形。求线圈的张力。
解：磁场对线圈的线压强在这里由安培力充当，我们可以首先把线圈划分为许多小段，每段长度为 $\Delta l$，且近似为直线。则每段所受安培力为
\begin{equation}
\Delta F = IB\Delta l~,
\end{equation}
所以线压强为 $IB$。由
式 3 得张力为 $T = RIB$。
1. ^ 等效地，也可以假设滑轮可以无摩擦滚动
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