绳的法向压力

贡献者： addis

预备知识　定积分

　　我们知道当一根质量忽略不计的绳子紧绷时，如果它不受任何法相的力（即垂直于绳的力），它将保持一条直线。如果绳的一部分存在弯曲，则说明该部分受法向力。如图 1 ，水平放置的绳子的张力为 $T$ ，经过半径为 $R$ 的滑轮后弯曲了 $θ$ 角。由于我们假设滑轮与绳之间无摩擦¹，经过滑轮后绳的张力仍然为 $T$ 。

图 1：滑轮对绳的线压强

　　显然，绳弯曲是由于在于滑轮接触的部分处处都受到法向的力。为了描述这种力的大小，我们取长度为 $Δ l$ 的一小段绳（弯曲忽略不计），若它受法向力大小为 $Δ F$ ，就用 $Δ F / Δ l$ 来描述法向力的大小。当 $Δ l \to 0$ ，就记为 $d F / d l$ ，称为线压强，是一个标量（压强是单位面积的压力，线压强是单位长度的压力）。注意力是相互的，滑轮对绳的压力与绳对滑轮的压力处处等大反向，所以总压力也等大反向。

　　绳子每点处的线压强与什么有关呢？由直觉我们可以猜到它和绳的张力成正比，和滑轮的半径有关，但与 $θ$ 无关。我们先假设接触的部分先压强处处相等，对绳做受力分析。

　　绳能保持静止，说明它受到的合力为 0，即两端的拉力以及滑轮对它的力相加为 0。若我们只考所有力的 $z$ 分量，可知滑轮对绳向上的分离等于绳右端拉力的 $z$ 分量，大小为 $T \sin θ$ 。

　　滑轮对绳合的 $z$ 分量可以用定积分计算

\begin{matrix} (1) & F_{z} = \int_{0}^{θ} \cos θ^{'} \frac{d F}{d l} R d θ^{'} = \frac{d F}{d l} R \int_{0}^{θ} \cos θ^{'} d θ^{'} = \frac{d F}{d l} R \sin θ . \end{matrix}

所以有

\begin{matrix} (2) & \frac{d F}{d l} R \sin θ = T \sin θ, \end{matrix}

即

\begin{matrix} (3) & \frac{d F}{d l} = \frac{T}{R} . \end{matrix}

所以线压强与张力成正比，和曲率半径成反比。这符合我们上面的猜测。

　　我们可以验证水平方向也有受力平衡，滑轮对绳水平方向的合力为（向右为正）

\begin{matrix} (4) & \int_{0}^{θ} \sin θ^{'} \frac{d F}{d l} R d θ^{'} = \frac{d F}{d l} R \int_{0}^{θ} \sin θ^{'} d θ^{'} = \frac{d F}{d l} R (1 - \cos θ) = T (1 - \cos θ) . \end{matrix}

绳子两端的拉力在水平方向的合力为

- T + T \cos θ

，所以水平合力同样为 0。

　　对于任意弯曲且光滑的绳子，要计算它任意一点受到的线压强，我们只需要知道该点处的张力与曲率半径 $ρ$ 即可，即

\begin{matrix} (5) & \frac{d F}{d l} = \frac{T}{ρ} . \end{matrix}

例 1　磁场中线圈的张力

　　一个垂直纸面向外的匀强磁场中，强度为 $B$ 。有一个平行纸面放置的柔软单股线圈。当线圈中通有逆时针电流 $I$ 时，线圈就会受到向外的安培力并紧绷成一个圆形。求线圈的张力。

　　解：磁场对线圈的线压强在这里由安培力充当，我们可以首先把线圈划分为许多小段，每段长度为 $Δ l$ ，且近似为直线。则每段所受安培力为

\begin{matrix} (6) & Δ F = I B Δ l, \end{matrix}

所以线压强为

I B

。由式 3 得张力为

T = R I B

。

1. ^ 等效地，也可以假设滑轮可以无摩擦滚动

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绳的法向压力

例 1 磁场中线圈的张力

例 1　磁场中线圈的张力