浮力的计算（散度公式）
贡献者： addis
现在我们用面积分的方法表示浮力。令 $z$ 轴竖直向上，且水面处 $z = 0$，则水面下压强为
\begin{equation}
P = -\rho_0 g z~.
\end{equation}
现在把上述的闭合曲面划分为许多个微面元，第 $i$ 个面元用矢量 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} _i$，表示，其中模长为面元的面积，方向为从内向外的法向。这个面元受到外界液体的压力为
\begin{equation}
\Delta \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = -P\Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} _i = \rho_0 g z \Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} _i~.
\end{equation}
现在把所有面元所受的压力求和，并用
曲面积分表示为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = \oint \rho_0 g z \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~,
\end{equation}
这就是物体所受的浮力。使用
式 1 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = \int \boldsymbol\nabla (\rho_0 g z) \,\mathrm{d}{V} = \rho_0 g V_0 \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~,
\end{equation}
可见该结论与 “等效法” 中得出的一致。
也可以从物理的角度得出 “证明闭合曲面的法向量面积分为零”。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。