浮力的计算（散度公式）

贡献者： addis

预备知识　散度，牛顿—莱布尼兹公式的高维拓展

　　现在我们用面积分的方法表示浮力。令 $z$ 轴竖直向上，且水面处 $z = 0$ ，则水面下压强为

\begin{matrix} (1) & P = - ρ_{0} g z . \end{matrix}

现在把上述的闭合曲面划分为许多个微面元，第

i

个面元用矢量

Δ s_{i}

，表示，其中模长为面元的面积，方向为从内向外的法向。这个面元受到外界液体的压力为

\begin{matrix} (2) & Δ F_{i} = - P Δ s_{i} = ρ_{0} g z Δ s_{i} . \end{matrix}

现在把所有面元所受的压力求和，并用曲面积分表示为

\begin{matrix} (3) & F = \oint ρ_{0} g z d s, \end{matrix}

这就是物体所受的浮力。使用式 1 得

\begin{matrix} (4) & F = \int \nabla (ρ_{0} g z) d V = ρ_{0} g V_{0} \hat{z}, \end{matrix}

可见该结论与 “等效法” 中得出的一致。

　　也可以从物理的角度得出 “证明闭合曲面的法向量面积分为零”。

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