浮力的计算(散度公式)

                     

贡献者: addis

预备知识 散度,牛顿—莱布尼兹公式的高维拓展

   现在我们用面积分的方法表示浮力。令 $z$ 轴竖直向上,且水面处 $z = 0$,则水面下压强为

\begin{equation} P = -\rho_0 g z~. \end{equation}
现在把上述的闭合曲面划分为许多个微面元,第 $i$ 个面元用矢量 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} _i$,表示,其中模长为面元的面积,方向为从内向外的法向。这个面元受到外界液体的压力为
\begin{equation} \Delta \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = -P\Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} _i = \rho_0 g z \Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} _i~. \end{equation}
现在把所有面元所受的压力求和,并用曲面积分表示为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \oint \rho_0 g z \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~, \end{equation}
这就是物体所受的浮力。使用式 1
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \int \boldsymbol\nabla (\rho_0 g z) \,\mathrm{d}{V} = \rho_0 g V_0 \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~, \end{equation}
可见该结论与 “等效法” 中得出的一致。

   也可以从物理的角度得出 “证明闭合曲面的法向量面积分为零”。


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