布洛赫理论

                     

贡献者: addis; _Eden_

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预备知识 定态薛定谔方程

   在固体物理中,我们研究原子按一定规则排布而成的理想晶格,研究电子在一个具有晶格周期性的等效势场 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 中的运动.根据定态薛定谔方程,我们有

\begin{equation} H\psi= \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right] \psi = E\psi \end{equation}
势场 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 满足周期性
\begin{equation} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )=V( \boldsymbol{\mathbf{r}} + \boldsymbol{\mathbf{R}} _n) \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} _n$ 为任意晶格矢量.

   为了研究周期性势场下定态薛定谔方程的解,我们可以从最简单的一维薛定谔方程出发.

1. 一维薛定谔方程

  1布洛赫(Bloch)理论也叫 Floquet 理论.一维薛定谔方程中,如果 $V(x)$ 是一个以 $a$ 为周期的函数,那么解将满足

\begin{equation} \psi(x+a) = \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} K a}\psi(x) \end{equation}
其中 $K$ 是一个常数.令 $D(a)$ 为平移算符,向右平移 $a$,那么 $[D,H] = 0$.所以存在能量和 $D$ 的共同本征态,马上就得到式 3

   波函数也可以记为

\begin{equation} \psi(x) = \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} K x} u(x) \end{equation}
其中 $u(x)$ 是一个周期为 $a$ 的函数.也就是波函数是一个振幅受周期性调制的平面波.

   如果我们施加循环边界条件($N$ 是晶体一个方向的原子数,阿伏伽德罗常数数量级)

\begin{equation} \psi(x+Na) = \psi(x) \end{equation}
\begin{equation} K = \frac{2\pi}{a} \frac{n}{N} \qquad (n \in \mathbb Z) \end{equation}

   一个例子见一维 delta 势能晶格

2. 三维薛定谔方程

   [31] [33] 布洛赫(Bloch)波函数定义为

\begin{equation} \phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } u( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
其中 $u( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 具有与晶格同样的周期性.
\begin{equation} u( \boldsymbol{\mathbf{r}} )=u( \boldsymbol{\mathbf{r}} + \boldsymbol{\mathbf{R}} _n) \end{equation}
$ \boldsymbol{\mathbf{R}} _n$ 为晶格矢量.即在任何平移 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} _n$ 的操作下势场 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 都是不变的.我们引入描述晶格平移对称性的算符 $T_1,T_2,T_3$,它们的定义是
\begin{equation} T_\alpha u( \boldsymbol{\mathbf{r}} )= u( \boldsymbol{\mathbf{r}} + \boldsymbol{\mathbf{a}} _\alpha),\alpha=1,2,3 \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _\alpha,\alpha=1,2,3$ 是晶格的三个基矢.它们是相互对易的,而且容易证明它们和哈密顿算符 $H$ 也相互对易.下面我们要做的就是找出 $H,T_1,T_2,T_3$ 的共同本征态,用以描述晶格中的电子.设
\begin{equation} \begin{aligned} &H\psi=E\psi,\\ &T_\alpha \psi = \lambda_\alpha \psi, \alpha=1,2,3 \end{aligned} \end{equation}
未完成:需要增加原胞、布拉伐格子、倒格子相关的词条
设晶格在三个方向上的原胞数量分别为 $N_1,N_2,N_3$,那么可以引入晶格的周期性边界条件:
\begin{equation} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )=\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} +N_\alpha \boldsymbol{\mathbf{a}} _\alpha),\alpha=1,2,3 \end{equation}
可以得出 $\lambda_\alpha$ 具有下列形式
\begin{equation} \lambda_\alpha=e^{ \dfrac{2\pi i l_\alpha}{N_\alpha}} \end{equation}
其中 $l_\alpha$ 为整数.

   如果引入倒格子矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} _1, \boldsymbol{\mathbf{b}} _2, \boldsymbol{\mathbf{b}} _3$,满足 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _i \cdot \boldsymbol{\mathbf{b}} _j = 2\pi \delta_{ij}$,那么

\begin{equation} \begin{aligned} &\lambda_\alpha = e^{i \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{a}} _\alpha}\\ & \boldsymbol{\mathbf{k}} =\sum_\alpha\frac{l_\alpha}{N_\alpha} \boldsymbol{\mathbf{b}} _\alpha \end{aligned} \end{equation}
我们可以将 式 7 三维晶格的布洛赫定理写成以下形式
\begin{equation} \begin{aligned} \psi \left( \boldsymbol{\mathbf{r}} +\sum_\alpha m_\alpha \boldsymbol{\mathbf{a}} _\alpha \right) &= T_1^{m_1} T_2^{m_2} T_3^{m_3} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\\ &=e^{i \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \left(\sum_\alpha m_\alpha \boldsymbol{\mathbf{a}} _\alpha \right) }\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{aligned} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 称为简约波矢,它对应于平移算符操作本征值的量子数 $l_1,l_2,l_3$.注意到当 $l_\alpha$ 增加 $N_\alpha$ 时 $\lambda_\alpha$ 没有发生变化,所以我们将 $l_\alpha$ 限制在 $0\cdots N_\alpha-1$ 因此得到简约波矢与量子数的一一对应.这相当于把 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 限制在 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 空间中由 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} _1, \boldsymbol{\mathbf{b}} _2, \boldsymbol{\mathbf{b}} _3$ 构成的原胞中,$ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 的允许值个数为 $N_1N_2N_3$,也就是晶体的原胞总数.另一种更方便的方式,是将 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 限制在 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 空间的维格纳塞茨原胞中,这个区域被称为第一布里渊区.


1. ^ 参考 [21]


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