FROG

贡献者：待更新

本文缺少预备知识，初学者可能会遇到困难。

　　如果我们要测量线偏振的超快激光脉冲的波形（即电场关于时间的函数），我们不能直接用仪器测量，因为电子元件的时间分辨率远远不够。但我们可以使用 Frequency Resolved Optical Gating（FROG）。FROG 有许多不同的实现方法，这里只讨论比较常见的 SHG FROG（Second Harmonic Generation FROG）和 PCGPA。

图 1：SHG FROG 的光路（图片来自 WikiPedia）

图 2：SHG FROG trace（图片来自网络）

　　 Frog 的大概原理就是把被测量的脉冲（prob） $f (t)$ 和另一个脉冲（gate） $g (t)$ 叠加（注意 $f (t)$ 和 $g (t)$ 都是实函数），然后通过一个二阶非线性介质产生一个 $f (t) g (t)$ 脉冲并分离出来，再测量光谱（即傅里叶变换）。接下来我们可以控制两个脉冲的相对延迟（time delay） $τ$ ，就得到不同延迟下 $f (t - τ) g (t)$ 的光谱，也就是一个二维函数，叫做 FROG trace（图 2 ）。很多情况下，gate 就是 prob 通过一个 beam splitter 分出来的，实验光路如图 1 所示。

\begin{matrix} (1) & a (ω, τ) = {| \int_{- \infty}^{\infty} f (t - τ) g (t) e^{- i ω t} d t |}^{2} . \end{matrix}

只要用特定的算法，就可以从式 1 中解出

f (t)

和

g (t)

。

1. PCGPA 算法

　　 PCGPA（Principal Component General Projection Algorithm）就是从式 1 中解出 $f (t)$ 和 $g (t)$ 的一种常见算法。在得到我们假设 $f (t)$ 和 $g (t)$ 都是等时间间隔的离散点 $f_{1}, f_{2} \dots, f_{N}$ 和 $g_{2}, g_{2} \dots, g_{N}$ ，可以看成两个列矢量。我们先来做两矢量的外积，即

\begin{matrix} (2) & f g^{T} = (\begin{matrix} f_{1} g_{1} & \dots & f_{1} g_{N} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ f_{N} g_{1} & \dots & f_{N} g_{N} \end{matrix}) . \end{matrix}

然后我们把第

i

行向左移动

i - 1

个元（左边多出的矩阵元补到右边），得到

\begin{matrix} (3) & (\begin{matrix} f_{1} g_{1} & f_{1} g_{2} & \dots & f_{1} g_{N} \\ f_{2} g_{2} & f_{2} g_{3} & \dots & f_{2} g_{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ f_{N} g_{N} & f_{N} g_{1} & \dots & f_{N} g_{N - 1} \end{matrix}) . \end{matrix}

现在可以发现每一列恰好是

f (t - τ) g (t)

的离散形式¹，第

i

列

τ = (i - 1) Δ t

。然而当

i > N / 2

的时候，更自然的理解是

τ = (i - N) Δ t

。例如与其认为第

N

列是

g

向上移动了

N - 1

个元，倒不如认为是向下移动了

1

个元。根据这种思想，我们可以把矩阵左半和右半调换得到

\begin{matrix} (4) & (\begin{matrix} f_{1} g_{N / 2 + 1} & f_{1} g_{N / 2 + 2} & \dots & f_{1} g_{N / 2} \\ f_{2} g_{N / 2 + 2} & f_{2} g_{N / 2 + 3} & \dots & f_{2} g_{N / 2 + 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ f_{N} g_{N / 2} & f_{N} g_{N / 2 + 1} & \dots & f_{N} g_{N / 2 - 1} \end{matrix}) . \end{matrix}

这样，从左到右的每列分别对应从

τ = - (N / 2) Δ t, \dots, (N / 2 - 1) Δ t

。

　　现在我们对每一列做离散傅里叶变换（注意前后都要 fftshift），就得到了含相位的 Frog trace 矩阵，其中的每一列都是式 1 中的

\begin{matrix} (5) & \int_{- \infty}^{\infty} f (t - τ) g (t) e^{- i ω t} d t . \end{matrix}

1. ^ 唯一的区别是从最上面移出的 $g_{i}$ 跑到了最下面，而在实验中最下面应该由 0 来填补。但如果 $f$ 和 $g$ 矢量的首尾都有足够多的 0，这个问题就自动解决了。

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