一维 delta 势能晶格
贡献者： addis
1本文使用原子单位制。势能为
\begin{equation}
V(x) = \alpha \sum_{j\in \mathbb Z} \delta(x - ja)~,
\end{equation}
\begin{equation}
k = \sqrt{2mE}~.
\end{equation}
在 $x = ja$ 处匹配边界条件，得
\begin{equation}
\cos\left(K a\right) = \cos\left(ka\right) + \frac{m\alpha}{k} \sin\left(ka\right) ~.
\end{equation}
由此可以对不同的 $K$ 解出不同的 $k$ 或能量 $E$，每个解对应一个 “束缚态”。
解出来以后会发现得到了许多能带（band），每个能带中有间隔密集的能级，能带之间存在能隙或带隙（band gap）。
如果电子把能带刚好填满，那么就是绝缘体；如果没有满就是导体。如果势能有参杂，导致出现了空穴以及多余的电子跑到上一个能带，那就是半导体。
1. ^ 参考 [1]
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 4ed
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