Floquet 理论

贡献者： addis

预备知识　布洛赫理论，傅里叶级数（指数）

　　¹Floquet 理论在原子的多光子过程中有大量应用。如果含时哈密顿算符随时间周期 $T$ 变化

\begin{matrix} (1) & H (t + T) = H (t) . \end{matrix}

那么波函数为

\begin{matrix} (2) & ψ (x, t) = \exp (- i E t) F (x, t) . \end{matrix}

其中

F (x, t)

同样是时间的周期函数，周期为

T

。所以又可以展开为傅里叶级数

\begin{matrix} (3) & F (x, t) = \sum_{n} e^{- i n ω t} F_{n} (x) . \end{matrix}

代入式 2 就得到 Floquet-Fourier 展开

\begin{matrix} (4) & ψ (x, t) = e^{- i E t} \sum_{n} e^{- i n ω t} F_{n} (x) . \end{matrix}

如果我们令

\begin{matrix} (5) & H (t) = H_{0} + \sum_{n} e^{- i n ω t} H_{n}, \end{matrix}

一起代入含时薛定谔方程得到一组完全不含时的方程

\begin{matrix} (6) & \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} H_{n - i} F_{i} (x) = (E + n ω - H_{0}) F_{n} (x) . \end{matrix}

如果

H

是简谐的

\begin{matrix} (7) & H (t) = H_{0} + H_{+} e^{- i ω t} + H_{-} e^{+ i ω t}, \end{matrix}

那么式 6 化简为

\begin{matrix} (8) & H_{+} F_{n - 1} (x) + H_{-} F_{n + 1} (x) = (E + n ω - H_{0}) F_{n} (x) . \end{matrix}

1. ^ 参考 [1]

[1] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。