分子平均碰壁数

                     

贡献者: addis; _Eden_

预备知识 理想气体状态方程

   我们来考虑理想气体,即气体分子之间不发生相互作用。当容器中的气体分子平均速度为 $\bar v$,分子数密度(单位体积内的分子个数)为 $n$ 时,单位容器面积单位时间受到分子碰撞的平均次数为

\begin{equation} \frac14 n\bar v~, \end{equation}
这个结论与容器的形状无关。

1. 简单的推导

   假设所有分子的速度都是 $v$,分子数密度为 $n$(单位体积内的分子数)。假设分子之间不发生碰撞。如果所有的分子都向同一个方向运动,那么单位时间通过面积为 $a$ 的垂直截面的分子数为 $nva$。如果容器是一个球壳,那么球壳的一半会受到粒子的撞击,单位时间的撞击次数(碰撞率)等于单位时间粒子通过容器最大截面的个数(如图 1),即 $nv \left(\pi R^2 \right) $。

图
图 1:分子同向运动的情况

   如果有一半的分子向右移动,一半向上移动(如图 2),那么每个方向的分子数密度变为原来的一半,总的碰撞率仍为

\begin{equation} \frac12 nv \left(\pi R^2 \right) + \frac12 nv \left(\pi R^2 \right) = nv \left(\pi R^2 \right) ~. \end{equation}

图
图 2:分子向两个方向运动的情况

   依此类推,如果分子运动的方向被均匀分布在空间的各个方向上,单位时间碰撞数仍然是 $nv \left(\pi R^2 \right) $。 由于球形容器的表面积为 $4\pi R^2$,所以单位容器壁面积单位时间的碰撞数就是 $nv/4$。

   接下来如果把球形容器改成任意形状的容器,由于分子运动在各个方向都是一样,所以结论不变。另外,一般情况下并不是每个分子都具有相同的速度,所以速度取平均值 $v$ 即可。

2. 积分推导

   利用立体角对不同运动方向的分子数积分。设运动方向与截面法向量夹角为 $\theta$,那么在 $ \,\mathrm{d}{\omega} =\sin \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} $ 所对应的方向上,单位时间内通过面积为 $a$ 的截面的分子数为 $n\bar v\cos\theta \frac{ \,\mathrm{d}{\Omega} }{4\pi}$。对 $\theta$ 从 $0$ 到 $\pi/2$ 积分,得到

\begin{equation} \frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi} \,\mathrm{d}{\phi} \int_0^{\pi/2}\sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \cdot (n \bar v\cos\theta)=\frac{n\bar v}{2} \int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta \,\mathrm{d}{\theta} = \frac{1}{4} n\bar v ~. \end{equation}

   特别地,如果考虑一个各向同性的光子气体,也就是说辐射场。每个光子的运动速度都为 $c$。假设频率为 $\nu$ 的辐射场能量密度(具体的定义见黑体辐射定律)为 $S_\nu(\nu)$,那么单位面积上的能流辐射强度就是

\begin{equation} J(\nu)=\frac{1}{4} S_\nu(\nu) c ~. \end{equation}
这就是黑体辐射的 Stefan-Boltzmann 定律。


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