分子平均碰壁数

贡献者： addis; _Eden_

预备知识　理想气体状态方程

　　我们来考虑理想气体，即气体分子之间不发生相互作用。当容器中的气体分子平均速度为 $\bar{v}$ ，分子数密度（单位体积内的分子个数）为 $n$ 时，单位容器面积单位时间受到分子碰撞的平均次数为

\begin{matrix} (1) & \frac{1}{4} n \bar{v}, \end{matrix}

这个结论与容器的形状无关。

1. 简单的推导

　　假设所有分子的速度都是 $v$ ，分子数密度为 $n$ （单位体积内的分子数）。假设分子之间不发生碰撞。如果所有的分子都向同一个方向运动，那么单位时间通过面积为 $a$ 的垂直截面的分子数为 $n v a$ 。如果容器是一个球壳，那么球壳的一半会受到粒子的撞击，单位时间的撞击次数（碰撞率）等于单位时间粒子通过容器最大截面的个数（如图 1），即 $n v (π R^{2})$ 。

图 1：分子同向运动的情况

　　如果有一半的分子向右移动，一半向上移动（如图 2），那么每个方向的分子数密度变为原来的一半，总的碰撞率仍为

\begin{matrix} (2) & \frac{1}{2} n v (π R^{2}) + \frac{1}{2} n v (π R^{2}) = n v (π R^{2}) . \end{matrix}

图 2：分子向两个方向运动的情况

　　依此类推，如果分子运动的方向被均匀分布在空间的各个方向上，单位时间碰撞数仍然是 $n v (π R^{2})$ 。由于球形容器的表面积为 $4 π R^{2}$ ，所以单位容器壁面积单位时间的碰撞数就是 $n v / 4$ 。

　　接下来如果把球形容器改成任意形状的容器，由于分子运动在各个方向都是一样，所以结论不变。另外，一般情况下并不是每个分子都具有相同的速度，所以速度取平均值 $v$ 即可。

2. 积分推导

　　利用立体角对不同运动方向的分子数积分。设运动方向与截面法向量夹角为 $θ$ ，那么在 $d ω = \sin d θ d ϕ$ 所对应的方向上，单位时间内通过面积为 $a$ 的截面的分子数为 $n \bar{v} \cos θ \frac{d Ω}{4 π}$ 。对 $θ$ 从 $0$ 到 $π / 2$ 积分，得到

\begin{matrix} (3) & \frac{1}{4 π} \int_{0}^{2 π} d ϕ \int_{0}^{π / 2} \sin θ d θ \cdot (n \bar{v} \cos θ) = \frac{n \bar{v}}{2} \int_{0}^{π / 2} \sin θ \cos θ d θ = \frac{1}{4} n \bar{v} . \end{matrix}

　　特别地，如果考虑一个各向同性的光子气体，也就是说辐射场。每个光子的运动速度都为 $c$ 。假设频率为 $ν$ 的辐射场能量密度（具体的定义见黑体辐射定律）为 $S_{ν} (ν)$ ，那么单位面积上的能流辐射强度就是

\begin{matrix} (4) & J (ν) = \frac{1}{4} S_{ν} (ν) c . \end{matrix}

这就是黑体辐射的 Stefan-Boltzmann 定律。

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