牛顿—莱布尼兹公式(复变函数)

                     

贡献者: addis

  • 本文处于草稿阶段。
预备知识 柯西—黎曼条件,复变函数的积分

   我们来回顾定理 1 :复积分的实部和虚部可以分别表示为两个二维矢量场的线积分

\begin{equation} \int_{C} f(z) \,\mathrm{d}{z} = \int_C \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } + \mathrm{i} \int_C \boldsymbol{\mathbf{g}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~, \end{equation}
其中
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = u \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} - v \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \qquad \boldsymbol{\mathbf{g}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = v \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + u \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~. \end{equation}
什么情况下,该积分只和积分曲线的起点和终点有关呢?根据斯托克斯定理,充分必要条件是
未完成:?

   如果其中的函数在某区域 $D$ 解析,即处处满足柯西—黎曼条件,那么

定理 1 

   令复平面的实轴为 $x$ 轴,虚轴为 $y$ 轴,用两个二元实函数 $u, v$ 来表示 $f(z)$

\begin{equation} f (z) = u(x, y) + \mathrm iv(x, y)~. \end{equation}
令两个矢量场为($ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 为 $xy$ 平面上的位置矢量)

   那么积分 $\int_{C} f(z) \mathrm{d} z$ 的实部和虚部分别可以看作两个矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ), \boldsymbol{\mathbf{g}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 在曲线 $C$ 上的线积分

\begin{equation} \begin{aligned} \int_{C} f(z) \,\mathrm{d}{z} &= \int_C \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } + \mathrm{i} \int_C \boldsymbol{\mathbf{g}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \\ &= \int_{C} u \mathrm{d} x-v \mathrm{d} y+\mathrm{i} \int_{C} v \mathrm{d} x+u \mathrm{d} y~. \end{aligned} \end{equation}

   而柯西—黎曼条件恰好规定了这两个矢量场的旋度为零,所以如果 $f(z)$ 在考虑的区域上解析,线积分结果只和起点和终点有关,与路径无关(所有的路径必须在解析的区域内)。于是可以得到类似于牛顿—莱布尼兹公式,令 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} _R, \boldsymbol{\mathbf{f}} _I$ 的势函数分别为 $F_R, F_I$,即

\begin{equation} \boldsymbol\nabla F_R = f_R~, \qquad \boldsymbol\nabla F_I = f_I~. \end{equation}
再令
\begin{equation} F( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = F_R( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \mathrm{i} F_I( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~, \end{equation}
\begin{equation} \int_{z_1}^{z_2} f(z) \,\mathrm{d}{z} = F(z_2) - F(z_1)~. \end{equation}
对于任意路径成立。容易证明 $F(z)$ 就是 $f(z)$ 的原函数,即
\begin{equation} F'(z) = f(z)~. \end{equation}
这相当于对式 7 实部和虚部分别使用梯度定理


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利