牛顿—莱布尼兹公式(复变函数)

             

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预备知识 柯西—黎曼条件,复变函数的积分

   我们来回顾定理 1 :复积分的实部和虚部可以分别表示为两个二维矢量场的线积分

\begin{equation} \int_{C} f(z) \,\mathrm{d}{z} = \int_C \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } + \mathrm{i} \int_C \boldsymbol{\mathbf{g}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \end{equation}
其中
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = u \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} - v \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \qquad \boldsymbol{\mathbf{g}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = v \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + u \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \end{equation}
什么情况下,该积分只和积分曲线的起点和终点有关呢?根据斯托克斯定理,充分必要条件是
未完成:?

   如果其中的函数在某区域 $D$ 解析,即处处满足柯西—黎曼条件,那么

定理 1 

   令复平面的实轴为 $x$ 轴,虚轴为 $y$ 轴,用两个二元实函数 $u, v$ 来表示 $f(z)$

\begin{equation} f (z) = u(x, y) + \mathrm iv(x, y) \end{equation}
令两个矢量场为($ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 为 $xy$ 平面上的位置矢量)

   那么积分 $\int_{C} f(z) \mathrm{d} z$ 的实部和虚部分别可以看作两个矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ), \boldsymbol{\mathbf{g}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 在曲线 $C$ 上的线积分

\begin{equation} \begin{aligned} \int_{C} f(z) \,\mathrm{d}{z} &= \int_C \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } + \mathrm{i} \int_C \boldsymbol{\mathbf{g}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \\ &= \int_{C} u \mathrm{d} x-v \mathrm{d} y+\mathrm{i} \int_{C} v \mathrm{d} x+u \mathrm{d} y \end{aligned} \end{equation}

   而柯西—黎曼条件恰好规定了这两个矢量场的旋度为零,所以如果 $f(z)$ 在考虑的区域上解析,线积分结果只和起点和终点有关,与路径无关(所有的路径必须在解析的区域内).于是可以得到类似于牛顿—莱布尼兹公式,令 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} _R, \boldsymbol{\mathbf{f}} _I$ 的势函数分别为 $F_R, F_I$,即

\begin{equation} \boldsymbol\nabla F_R = f_R \qquad \boldsymbol\nabla F_I = f_I \end{equation}
再令
\begin{equation} F( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = F_R( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \mathrm{i} F_I( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
\begin{equation} \int_{z_1}^{z_2} f(z) \,\mathrm{d}{z} = F(z_2) - F(z_1) \end{equation}
对于任意路径成立.容易证明 $F(z)$ 就是 $f(z)$ 的原函数,即
\begin{equation} F'(z) = f(z) \end{equation}
这相当于对式 7 实部和虚部分别使用梯度定理

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