牛顿—莱布尼兹公式（复变函数）

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　柯西—黎曼条件，复变函数的积分

　　我们来回顾定理 1 ：复积分的实部和虚部可以分别表示为两个二维矢量场的线积分

\begin{matrix} (1) & \int_{C} f (z) d z = \int_{C} f (r) \cdot d r + i \int_{C} g (r) \cdot d r, \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (2) & f (r) = u \hat{x} - v \hat{y} g (r) = v \hat{x} + u \hat{y} . \end{matrix}

什么情况下，该积分只和积分曲线的起点和终点有关呢？根据斯托克斯定理，充分必要条件是

未完成：？

　　如果其中的函数在某区域 $D$ 解析，即处处满足柯西—黎曼条件，那么

定理 1　

　　令复平面的实轴为 $x$ 轴，虚轴为 $y$ 轴，用两个二元实函数 $u, v$ 来表示 $f (z)$

\begin{matrix} (3) & f (z) = u (x, y) + i v (x, y) . \end{matrix}

令两个矢量场为（

r

为

x y

平面上的位置矢量）

　　那么积分 $\int_{C} f (z) d z$ 的实部和虚部分别可以看作两个矢量场 $f (r), g (r)$ 在曲线 $C$ 上的线积分

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \int_{C} f (z) d z & = \int_{C} f (r) \cdot d r + i \int_{C} g (r) \cdot d r \\ = \int_{C} u d x - v d y + i \int_{C} v d x + u d y . \end{aligned} \end{matrix}

　　而柯西—黎曼条件恰好规定了这两个矢量场的旋度为零，所以如果 $f (z)$ 在考虑的区域上解析，线积分结果只和起点和终点有关，与路径无关（所有的路径必须在解析的区域内）。于是可以得到类似于牛顿—莱布尼兹公式，令 $f_{R}, f_{I}$ 的势函数分别为 $F_{R}, F_{I}$ ，即

\begin{matrix} (5) & \nabla F_{R} = f_{R}, \nabla F_{I} = f_{I} . \end{matrix}

再令

\begin{matrix} (6) & F (r) = F_{R} (r) + i F_{I} (r), \end{matrix}

有

\begin{matrix} (7) & \int_{z_{1}}^{z_{2}} f (z) d z = F (z_{2}) - F (z_{1}) . \end{matrix}

对于任意路径成立。容易证明

F (z)

就是

f (z)

的原函数，即

\begin{matrix} (8) & F^{'} (z) = f (z) . \end{matrix}

这相当于对式 7 实部和虚部分别使用梯度定理。

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