柯西积分定理

             

预备知识 复变函数的积分

   在复变函数的积分里的例子可以发现,有的函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点,而与积分路径的形状无关,而有的函数,其积分不仅与积分路径的起点与终点有关,而且与积分路径的形状也有关.深入观察后,可知,前一类函数是解析函数.由此,可提出猜想:解析函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点,而与积分路径的形状无关.柯西在 1825 年给出此定理对猜想作了回答.也就是我们现在要介绍的柯西积分定理(Cauchy's integral theorem),也叫柯西—古萨定理(Cauchy–Goursat theorem)

定理 1 柯西积分定理

   设 $G $ 为复平面上的单连通区域,$C $ 为 $G $ 内的任意一条围线,如图所示,若 $f (z)$ 在 $G $ 内解析,则

\begin{equation} \oint_{C} f(z) \mathrm{d} z=0 \end{equation}

图
图 1:积分回路

   下面为了简单起见,在假设 $f'(z)$ 连续的情况下证明该定理,也就是黎曼在 1851 年给出的证明方法.

   令 $z=x+\mathrm{i} y, f(z)=u(x, y)+\mathrm{i} v(x, y)$,我们有

\begin{equation} \oint_{C} f(z) \mathrm{d} z=\oint_{C} u \mathrm{d} x-v \mathrm{d} y+\mathrm{i} \oint_{C} v \mathrm{d} x+u \mathrm{d} y \end{equation}
由于 $f^{\prime}(z)=u_{x}+\mathrm{i} v_{x}=v_{x}-\mathrm{i} u_{y}$ 在 $G $ 内连续,所以,$u_{x}, u_{y}, v_{x}, v_{y}$ 在 $G $ 内连续,从而,这四个偏导数在由围线 $C$ 及其内部构成的闭区域 $D $ 上连续.又因 $C $ 为光滑或逐段光滑的闭曲线,且 $u $ 与 $v $ 在 $D $ 上连续是显然的.于是,由高等数学中的格林公式或斯托克斯定理
\begin{equation} \begin{aligned}\oint_C u \mathrm{d} x-v \mathrm{d} y=\iint_{D}\left(-v_{x}-u_{y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ \oint_C v \mathrm{d} x+u \mathrm{d} y=\iint_{D}\left(u_{x}-v_{y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y\end{aligned} \end{equation}
而由 $ f (z)$ 在 G 内解析知道,$u$ 与 $v$ 满足柯西—黎曼条件(式 3
\begin{equation} u_{x}=v_{y}, \quad u_{y}=-v_{x} \end{equation}
由此得式 3 中两个积分都为零,即
\begin{equation} \oint_{C} f(z) \mathrm{d} z=0 \end{equation}

   这个定理其实也提供了一种计算解析函数沿围线积分的方法.下面来看一道例题.

例 1 

   计算积分

\begin{equation} \oint_{|z+1|=\frac{1}{4}} \frac{3 z}{(z-2)(z-1)} \mathrm{d} z \end{equation}
作区域 $G:|z+1| < 1$,显然,积分路径 $|z+1|=1/4$ 位于 $G$ 内,由柯西积分定理,积分结果为 0.

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