柯西积分定理

贡献者： addis; FFjet

　　 在复变函数的积分里的例子可以发现，有的函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关，而有的函数，其积分不仅与积分路径的起点与终点有关，而且与积分路径的形状也有关。深入观察后，可知，前一类函数是解析函数。由此，可提出猜想：解析函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关。柯西在 1825 年给出此定理对猜想作了回答。也就是我们现在要介绍的柯西积分定理（Cauchy's integral theorem），也叫柯西—古萨定理（Cauchy–Goursat theorem）。

定理 1　柯西积分定理

　　 设 $G$ 为复平面上的单连通区域，$C$ 为 $G$ 内的任意一条围线，如图所示，若 $f(z)$ 在 $G$ 内解析，则

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z=0.\end{array}$$

图 1：积分回路

　　 下面为了简单起见，在假设 $f^{\prime }(z)$ 连续的情况下证明该定理，也就是黎曼在 1851 年给出的证明方法。

　　 令 $z=x+\mathrm{i}y,f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y)$，我们有

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z={\oint }_{C}u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y+\mathrm{i}{\oint }_{C}v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y.\end{array}$$

由于 $f^{\prime }(z)=u_x+\mathrm{i}{v}_x=v_x-\mathrm{i}{u}_y$ 在 $G$ 内连续，所以，$u_x,u_y,v_x,v_y$ 在 $G$ 内连续，从而，这四个偏导数在由围线 $C$ 及其内部构成的闭区域 $D$ 上连续。又因 $C$ 为光滑或逐段光滑的闭曲线，且 $u$ 与 $v$ 在 $D$ 上连续是显然的。于是，由高等数学中的格林公式或斯托克斯定理得

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{r}{\oint }_{C}u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y={\iint }_D(-v_x-u_y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ {\oint }_{C}v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y={\iint }_D(u_x-v_y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}.\end{array}$$

而由 $f(z)$ 在 G 内解析知道，$u$ 与 $v$ 满足柯西—黎曼条件（式 4 ）

$$\begin{array}{}\text{(4)}& u_x=v_y,u_y=-v_x.\end{array}$$

由此得式 3 中两个积分都为零，即

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z=0.\end{array}$$

　　 这个定理其实也提供了一种计算解析函数沿围线积分的方法。下面来看一道例题。