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Prerequisite 量子力学基本假设
，矢量算符
定态薛定谔方程
定态薛定谔方程就是哈密顿算符的本征方程，本征值就是能量 $E$．
\begin{equation}
H \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = E \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )
\end{equation}
单个粒子问题中，哈密顿算符对应粒子的总能量，总能量算符可以表示为动能算符和势能算符之和
\begin{equation}
H = T + V
\end{equation}
一维定态薛定谔方程
一维运动的单个质点，波函数是坐标 $x$ 的函数 $\Psi(x)$
\begin{equation}
T = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \qquad V = V(x)
\end{equation}
所以定态薛定谔方程为
\begin{equation}
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\Psi}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + V(x)\Psi = E \Psi
\end{equation}
束缚态
这是一个二阶线性常微分方程．数学上来看无论 $E$ 是多少，必有两个线性无关的解，它们的线性组合也是解（二维解空间）．然而物理上可能存在的波函数必须要可归一化：即随着 $ \left\lvert x \right\rvert \to \infty$， $ \left\lvert \psi \right\rvert ^2$ 在极限 $ \left\lvert x \right\rvert \to\infty$ 的过程中下降得比 $1/x$ 要快．可以证明只有对于某些离散的 $E$ 我们才能解出这些波函数．我们把每个 $E_i$ 叫做能级（energy level），对应的波函数叫做束缚态（bound state）．
所有的能级都处于能量区间
\begin{equation}
\min V(x) < E_i < \min V(\pm\infty)
\end{equation}
其中 $\min V(x)$ 是函数 $V(x)$ 的最小值（可以是负无穷），$\min V(\pm\infty)$ 表示 $V(x)$ 的正无穷极限和负无穷极限中较小的一个．因为当 $E$ 太小时，波函数必定会在无穷远处爆炸（无穷大），而当 $E$ 太大时，波函数虽然不会爆炸但也不会趋于零．
eq. 5 ，要求势能函数 $V(x)$ 中存在某种形状的凹陷，又称为
势阱（potential well）．
例子：无限深势阱，有限深势阱，简谐振子（升降算符）．
散射态
当 $E > \min V(\pm\infty)$ 时，虽然波函数不满足归一化，但它们仍然有重要的应用．我们把它们叫做散射态（scattering states）．计算散射态时，通常我们要求两个极限 $V(\pm \infty)$ 都存在．这样在满足无穷远处 $E > V$ 的方向，波函数在无穷远处将会是简谐波．最直接的例子是平面波函数．
虽然散射态本身不能归一化，但是它们的线性组合却可以．例如 $V(x) \equiv 0$ 势能中的高斯波包 就可以看作由平面波线性叠加而来，即反傅里叶变换．
某种意义上，给定一个势能函数，所有的束缚态和散射态可以构成一组正交归一的函数基底，用于展开所有可归一化的波函数．
简并
简并是指一个能量本征值 $E$ 对应多个线性无关的归一化波函数的情况．可以证明一维束缚态不存在简并，散射态存在双重简并．
多维定态薛定谔方程
二维或三维的情况下，波函数是位置矢量的函数 $\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$
\begin{equation}
T = -\frac{\hbar^2}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 \qquad V = V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )
\end{equation}
定态薛定谔方程为
\begin{equation}
-\frac{\hbar^2}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 {\Psi} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\Psi = E \Psi
\end{equation}
例子：三维简谐振子（球坐标）
．
未完成：为什么束缚态必须是实函数（或者乘以一个相位因子）？为什么实函数的平均动量必须等于 0（实函数的傅里叶变换对对称函数）？物理上意味着什么？如果势能是偶函数，那么波函数为什么一定是基函数或者偶函数？这可以通过哈密顿算符和宇称算符的对易性来解释．
波函数的对称性
若哈密顿算符和宇称算符 $\Pi$ 对易，则它们具有一组共同的本征波函数，其中每个都具有奇宇称或者偶宇称．例如对于一维定态薛定谔方程，若势能函数是偶函数，即 $V(x) = V(-x)$，则波函数必定是奇函数或者偶函数，即
\begin{equation}
\psi(-x) = \pm \psi(x)
\end{equation}