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Prerequisite 定态薛定谔方程
，分离变量法
\begin{equation}
H \left\lvert \Psi \right\rangle = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \left\lvert \Psi \right\rangle
\end{equation}
波函数是位置矢量的函数 $\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$
\begin{equation}
T = -\frac{\hbar^2}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 \qquad V = V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )
\end{equation}
定态薛定谔方程为
\begin{equation}
-\frac{\hbar^2}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 {\Psi} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\Psi = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi
\end{equation}
能量守恒系统
当哈密顿算符 $H$ 不随时间变化时，我们说这个系统能量守恒．这时我们可以用分离变量法，令
\begin{equation}
\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) T(t)
\end{equation}
\begin{equation}
H\psi = E\psi
\end{equation}
以及
\begin{equation}
\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{t}} T = ET
\end{equation}
其中
eq. 5 就是定态薛定谔方程
，即哈密顿算符的本征方程．
eq. 6 有简单的解
\begin{equation}
T(t) = \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E t/\hbar}
\end{equation}
根据 $H$ 的不同，本征值 $E$ 可以取离散或连续的值．先看只取离散值的简单情况（如无限深势阱），令能级为 $E_n$（$n = 1, 2, \dots$），那么含时薛定谔方程的通解为
\begin{equation}
\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \sum_n C_n \psi_n( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_n t/\hbar}
\end{equation}
其中 $C_n$ 为待定系数，由初始条件决定．一个简单的例子见 “无限深势阱中的高斯波包
”．
如果 $E$ 只在某个区间内取连续值，我们同样可以使用分离变量法，只是求和变为积分，系数变为能量的函数
\begin{equation}
\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \int C(E) \psi_E( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E t/\hbar} \,\mathrm{d}{E}
\end{equation}
若能量是简并的，即定态薛定谔方程中一个能量 $E$ 由多个线性无关的解 $\psi_{E,i}(x)$（$i=1,2\dots$），那么上式变为
\begin{equation}
\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \int \sum_i C_i(E) \psi_{E,i}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E t/\hbar} \,\mathrm{d}{E}
\end{equation}
一个经典的例子见 “一维自由粒子（量子）”．