量子力学的基本假设
一维的情况
- 粒子的状态由 Hilbert 空间中的波函数 $ \left\lvert \psi(t) \right\rangle $ 表示．
- 要得到一个物理量 $\omega(x, p)$ 对应的算符，就把 $x$ 和 $p$ 换成对应的算符 $ \hat{x} $ 和 $ \hat{p} $．这两个算符的定义为
\begin{equation}
\left\langle x \right\rvert \hat{x} \left\lvert x' \right\rangle = x\delta(x-x')
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle x \right\rvert \hat{p} \left\lvert x' \right\rangle = - \mathrm{i} \hbar \delta'(x-x')
\end{equation}
- 找到哈密顿量对应的哈密顿算符，波函数的演化由薛定谔方程决定
\begin{equation}
\hat{H} \left\lvert \psi(t) \right\rangle = \mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left\lvert \psi(t) \right\rangle
\end{equation}
- 如果要测量一个物理量 $ \hat{\Omega} (x, p)$，那么先求出所有的归一化本征函数 $ \left\lvert \omega_i \right\rangle $ 和对应的本征值 $\omega_i$，测量到 $\omega_i$ 的概率为 $ \left\lvert \left\langle \omega \middle| \psi \right\rangle \right\rvert ^2$．测量完之后波函数由 $ \left\lvert \psi \right\rangle $ 变为 $ \left\lvert \omega_i \right\rangle $．
注意这里的 $x$ 和 $p$ 分别是哈密顿方程中的广义坐标和广义动量，而不必是位置和动量．
希尔伯特空间既包括可以正常归一化的波函数，也包括能用狄拉克 $\delta$ 函数归一化的波函数．
如果经典哈密顿量中出现了 $xp$ 项，那么算符要写成 $( \hat{x} \hat{p} + \hat{p} \hat{x} )/2$ 以保证物理量的算符是 Hermitian 矩阵．如果出现了 $x$ 和 $p$ 的更高次项，就只能靠实验判断．
本词条参考 [16]．