1本文使用原子单位制．一维定态薛定谔方程eq. 4 为
\begin{equation}
-\frac{1}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} \psi(x) + V(x) \psi(x) = E \psi(x)
\end{equation}
令势能函数为
\begin{equation}
V(x) = \begin{cases}
-V_0 \quad &(-L/2 \leqslant x \leqslant L/2)\\
0 \quad &(\text{其他})
\end{cases}
\end{equation}
该势能叫做
有限深势阱（finite square well）．
有限深势阱既包含连续的本征态（散射态），又可能包含有限个离散的束缚态．所以有限深势阱是研究一维散射问题的一个简单模型．
束缚态
由于 $V(x)$ 是对称的，波函数必定是奇函数或者偶函数（eq. 8 ）．令
\begin{equation}
k = \sqrt{2mE} \qquad \kappa = \sqrt{2m(E + V_0)}
\end{equation}
第 1,3 区间的通解为 $E < V$
\begin{equation}
\psi(x) = C_1 \mathrm{e} ^{kx} + C_2 \mathrm{e} ^{-kx}
\end{equation}
为了让无穷远处波函可归一化，所以
\begin{equation}
\psi_1 = A \mathrm{e} ^{kx} \qquad \psi_3 = D \mathrm{e} ^{-kx}
\end{equation}
第 2 区间的通解为 $E > V$
\begin{equation}
\psi_2(x) = B \cos\left(\kappa x\right) + C \sin\left(\kappa x\right)
\end{equation}
奇波函数
当波函数为奇函数时，易得 $\psi(0) = 0$ 即 $B = 0$，且 $A = -D$．再考虑 $x = L/2$ 处波函数及一阶导数连续有
\begin{equation}
\begin{aligned}
&C \sin\left(\kappa L/2\right) = D \exp\left(-kL/2\right) \\
&\kappa C \cos\left(\kappa L/2\right) = -kD \exp\left(-kL/2\right)
\end{aligned}
\end{equation}
其中可以把 $E$ 看成未知量，决定 $k, \kappa$，$C,D$ 也是未知量．两式相除得
\begin{equation}
\tan\left(\kappa L/2\right) = -\kappa/k
\end{equation}
这是一个超定方程，可能存在解．解出后再次代入
eq. 7 可以求得比值 $D/C$．归一化即可确定 $C, D$．
偶波函数
当波函数为奇函数时，易得 $\psi'(0) = 0$ 即 $C = 0$，且 $A = D$．与奇函数的情况同理得
\begin{equation}
\begin{aligned}
&B \cos\left(\kappa L/2\right) = D \exp\left(-kL/2\right) \\
&\kappa B \sin\left(\kappa L/2\right) = kD \exp\left(-kL/2\right)
\end{aligned}
\end{equation}
相除得
\begin{equation}
\tan\left(\kappa L/2\right) = k/\kappa
\end{equation}
未完成：什么时候有束缚态什么时候没有？
散射态
散射态的计算只需要把 “方势垒” 中 $E > V_0$ 的情况下取 $V_0 < 0$ 即可, 这里不再重复．
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面．