Prerequisite 量子力学
，平面波
，厄米矩阵的本征值问题
“量子力学” 中我们已经简单介绍了量子力学的基本假设．这里我们来进行更详细的说明，注意我们仍然只讨论做一维直线运动的单个微观粒子．首先来做一个总结
- 粒子的状态由波函数描述．
- 波函数按照薛定谔方程随时间变化．
- 某时刻若对粒子测量一个物理量，则先找到该物理量的本征函数 $\Psi_1, \Psi_2, \dots$ 以及对应的本征值，把粒子在该时刻的波函数 $\Psi(x, t)$ 表示成这些本征函数的线性叠加 $\Psi = C_1 \Psi_1 + C_2 \Psi_2\dots$，测得第 $i$ 个本征值的概率就是系数 $C_i$ 的模长平方．本征值有可能是连续的或是离散的．
- 测量完后，粒子的波函数坍缩为第 $i$ 个本征函数．
算符和本征问题
之前提到，位置的本征函数是一些无穷窄的函数，叫做 $\delta$ 函数，对应的位置本征值则是这些 $\delta$ 函数所在的位置．动量的本征函数是一些平面波，对应的动量本征值就是平面波的空间频率乘以一个常数．然而我们并没有说明某个物理量的本征波函数是怎么得到的，以下将进一步介绍．
在量子力学中，每个物理量都可以对应一个算符，算符可以想象为对波函数的一种操作，算符作用在波函数上可以得到一个新的波函数．例如某时刻波函数为 $\sin x$，求导算符 $ \mathrm{d}/\mathrm{d}{x} $ 作用在 $\sin x$ 上就得到一个新的波函数 $\cos x$．又例如坐标 $x$ 也可以作为一个算符，我们定义将其作用在任意波函数 $\Psi(x, t)$ 上，就是将其相乘，即 $x\Psi(x, t)$．又例如任意函数 $f(x)$ 也可以是一个算符，我们定义将其作用在 $\Psi(x, t)$ 上得 $f(x)\Psi(x, t)$．
在书写习惯上，我们将某物理量 $Q$ 的算符用 $ \hat{Q} $ 表示，如位置的算符用 $ \hat{x} $ 表示，动量的算符用 $ \hat{p} $ 表示．当我们熟练以后，为了书写简洁往往将 “$\hat{\phantom{x}}$” 符号省略．
要得到某个物理量的本征函数，我们需要解本征方程
\begin{equation}
\hat Q \psi(x) = \lambda \psi(x)
\end{equation}
其中 $\lambda$ 是本征值，$\psi(x)$ 是本征函数，二者都是未知的．如果本征值是离散的（如束缚态的能量），我们就可以用整数角标来 $i$ (来区分不同的本征值和本征函数，将它们分别记为 $\lambda_i$ 和 $\psi_i(x)$，如果本征值是连续的（如位置，动量），我们就将角标 $i$ 替换为一个实数，比方说记为 $\alpha$．用 $\lambda(\alpha)$ 区分不同本征值，将对应的波函数记为 $\psi_\alpha(x)$．注意本征函数不含时间变量 $t$．另外，用于由于物理量的算符，其本征值必定是实数．我们把这类算符叫做
厄米算符（Hermitian operator）1，以后会具体介绍．
我们姑且认为，量子力学的基本假设规定2位置的算符 $ \hat{x} $ 是 $x$，动量的算符 $ \hat{p} $ 是微分算符 $- \mathrm{i} \hbar \partial/\partial x $．其中 $ \mathrm{i} $ 是虚数单位，$\hbar$ 是一个常数，叫做约化普朗克常数，即普朗克常数 $h$ 除以 $2\pi$．
可以定性地验证位于坐标 $x_0$ 处的 $\delta$ 函数是 $ \hat{x} $ 的本征矢，且本征值为 $x_0$．我们把位于原点处的 $\delta$ 函数记为 $\delta(x)$，那么 $x_0$ 处的 $\delta$ 函数就是 $\delta (x - x_0)$．将本征函数和本征值代入本征方程，得
\begin{equation}
x \delta(x - x_0) = x_0 \delta(x - x_0)
\end{equation}
我们可以从函数图像上对该式做一个定性证明：由于 $\delta(x - x_0)$ 只有在 $x_0$ 处一个无穷窄的区间不为零，所以将 $\delta$ 函数乘以 $x$，就相当于在这个不为零的无穷窄区间乘以 $x_0$．
动量的本征方程为
\begin{equation}
\hat{p} \psi(x) = - \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{x}} \psi(x) = p \psi(x)
\end{equation}
代入即可证明本征函数为
3 $\psi(x) = \exp\left( \mathrm{i} k x\right) $，对应的 动量本征值为 $p = \hbar k$．$ \exp\left( \mathrm{i} k x\right) $ 是平面波的复数形式，量子力学中的平面波指的是这个而不是 $ \sin\left(kx\right) $ 或 $ \cos\left(kx\right) $．
利用波长和波数的关系 $\lambda = 2\pi/k$，以及 $\hbar = h/2\pi$，我们就可以得到著名的德布罗意公式
\begin{equation}
\lambda = \frac{h}{p}
\end{equation}
所以德布罗意公式描述的是动量本征值和本征函数（平面波）的波长之间的关系，即动量和波长成反比．所以平面波的波长 $\lambda$ 也叫
德布罗意波长．
量子力学的基本假设规定，其他所有算符都可以通过位置和动量算符拼凑而成，其形式与经典力学中对应物理量的形式相同．例如，经典力学中的动能为 $p^2/(2m)$，那么量子力学中的动能算符（习惯上用大写字母 $T$ 表示）就是
\begin{equation}
\hat{T} = \frac{ \hat{p} ^2}{2m}
\end{equation}
要理解算符运算并不难，这里的 $ \hat{p} ^2$ 也可以记为 $ \hat{p} \hat{p} $，即两个动量算符相乘．两个算符相乘的定义是，将右边的算符先作用在波函数上，再将左边的算符作用在波函数上．所以 $ \hat{p} ^2$ 作用在波函数 $\psi(x)$ 上，就相当与先关于 $x$ 求偏导，乘以常数 $- \mathrm{i} \hbar$，再关于 $x$ 求偏导，再乘以常数 $- \mathrm{i} \hbar$．
\begin{equation}
\hat{p} ^2 \psi = - \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{x}} \left(- \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{x}} \psi \right)
\end{equation}
由于常数可以提到求导算符的外面，这就相当于关于 $x$ 求二阶偏导，然后在乘以 $(- \mathrm{i} \hbar)^2 = -\hbar^2$．
\begin{equation}
\hat{p} ^2 \psi(x) = -\hbar^2 \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} \psi(x)
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\hat{p} ^2 = -\hbar^2 \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}}
\end{equation}
\begin{equation}
\hat{T} = \frac{ \hat{p} ^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}}
\end{equation}
有了动能的算符，我们就可以列出动能的本征方程并解出其本征函数和本征值 $E_k$（注意角标 $k$ 代表 kinetic，不是波数）
\begin{equation}
\hat{T} \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} \psi(x) = E_k \psi(x)
\end{equation}
巧的是，解出动能的本征函数与动量的本征函数相同，也是 $ \exp\left(- \mathrm{i} k x\right) $，但对应的本征值不同，是 $E_k = \hbar^2 k^2/(2m)$．这事实上并不是巧合，因为 $ \hat{T} $ 正比于 $ \hat{p} ^2$，当第一个 $ \hat{p} $ 作用在动量的本征函数上，得到的是常数乘以该本征函数，再经第二个 $ \hat{p} $ 作用，同样相当于乘以一个常数
\begin{equation}
\begin{aligned}
- \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{x}} \left(- \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{x}} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x} \right) &= - \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{x}} \left(\hbar k \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x} \right) = \hbar k \left(- \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{x}} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x} \right) \\
&= \hbar^2 k^2 \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x}
\end{aligned} \end{equation}
两边除以 $2m$，就验证了动能的本征方程，并得到本征值．需要注意的是，同一个动能本征值 $E_k$ 对应两个互为相反数的波数 $k$，即存在两个线性无关的本征态（分别是向左和向右的平面波），且这两个本征态的任意线性组合都是同一个能量本征值的本征函数．我们把这种一个本征值对应多个本征函数的情况叫做
简并，如果最多由 $N$ 个本征函数，就有
$N$ 重简并．所以一维情况下，能量具有二重简并．
1. ^ 数学上也叫自伴算符（self-adjoint operator）
2. ^ 严格来说这并不是基本假设的一部分，但现阶段这么认为并没有大碍．说实话，本书并不打算深究这一点．另外，算符在不同的波函数表象下具有不同的形式，这里使用的是位置表象．表象的概念以后会学习，现在先不用担心．
3. ^ 我们也可以通过解微分方程得到