Prerequisite 万有引力
，椭圆的三种定义
，双曲线的三种定义
，抛物线的三种定义
在中心力场问题 中，若 $F(r)$ 是平方反比的力（斥力为正引力为负），即
\begin{equation}
F(r) = \frac{k}{r^2} \qquad V(r) = \frac{k}{r}
\end{equation}
则该问题被称为
开普勒问题．其中 $k$ 为非零实数．例如对于万有引力 $k = -GMm$，对于异种电荷间的库仑力
，有
1 $k = Qq/(4\pi\epsilon_0)$．
在开普勒问题中，可以证明质点的运动轨道是圆锥曲线的一种，力心处于焦点．质点的机械能（动能加势能）$E$ 和角动量 $L$ 可以唯一地确定轨道的形状和大小．轨道的形状一般由离心率 $e$ 描述，大小由半通径 $p$ 描述（eq. 1 ）．$E < 0$ 对应椭圆轨道，$E = 0$ 对应抛物线轨道2，$E > 0$ 对应双曲线轨道．注意双曲线轨道有两支，当 $k < 0$（引力）时取离中心天体较近的一支，$k > 0$（斥力）时取较远的一支．
\begin{align}
e &= \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}\\
p &= \frac{L^2}{m \left\lvert k \right\rvert }
\end{align}
椭圆或双曲线的大小和形状也可以由参数 $a,b$ 描述．$a,b$ 与 $e,p$ 的对应关系见 “椭圆的三种定义
” 和 “双曲线的三种定义
”．
\begin{align}
a &= \frac{ \left\lvert k \right\rvert }{2 \left\lvert E \right\rvert }\\
b &= \frac{L}{\sqrt{2m \left\lvert E \right\rvert }}
\end{align}
要求位置和时间的关系，见 “开普勒问题的运动方程
”．
证明
如果我们已知质点轨道为圆锥曲线，只需要简单的代数方法就可以得到上述关系．而证明轨道是圆锥曲线则要复杂得多，见 “普勒第一定律的证明”．
椭圆轨道
令椭圆轨道（$k < 0$）距离焦点的最近和最远距离分别为 $r_1$ 和 $r_2$，列出总能量（动能加势能）守恒
\begin{equation}
\frac12 m v_1^2 + \frac{k}{r_1} = \frac12 mv_2^2 + \frac{k}{r_2}
\end{equation}
以及角动量守恒
\begin{equation}
mv_1 r_1 = mv_2 r_2
\end{equation}
把
eq. 7 中的 $v_2$ 代入
eq. 6 ，可得
\begin{equation}
v_1^2 = \frac{-2k/m}{r_1 + r_2} \frac{r_2}{r_1}
\end{equation}
代入
eq. 6 的左边，并使用 $r_1+r_2=2a$（
eq. 10 ）得到总能量
\begin{equation}
E = \frac{k}{2a}
\end{equation}
把
eq. 8 代入
eq. 7 的左边，并使用 $r_1 r_2 = (a+c)(a-c) =b^2$ 得角动量
\begin{equation}
L = b\sqrt{\frac{-mk}{a}}
\end{equation}
将
eq. 9 和
eq. 10 逆转即可得到
eq. 4 和
eq. 5 ．要得到
eq. 2 eq. 3 ，只需使用
eq. 7 和
eq. 8 即可．
抛物线轨道
已知抛物线轨道（$k < 0$）的总能量为零，抛物线轨道离焦点的最近距离为焦距 $p/2$，该点处，动量和能量为
\begin{align}
L &= mv_0 \frac p2\\
0 = E &= \frac 12 mv_0^2 + \frac{k}{p/2}
\end{align}
两式消去 $v_0$ 得角动量为 $L = \sqrt{mkp}$．证毕．
双曲线轨道
无论 $k$ 的正负如何，令双曲线轨道离焦点最近的距离为 $r_1$，可列出总能量守恒
\begin{equation}
\frac12 mv_0^2 = \frac12 mv_1^2 + \frac{k}{r_1}
\end{equation}
该式左边表示质点在无穷远处的总能量，此时势能为 $0$，总能量等于动能．再来看角动量守恒
\begin{equation}
m v_0 b = m v_1 r_1
\end{equation}
该式左边为无穷远处的角动量．由
eq. 11 可知，在无穷远处，双曲线的渐近线与焦点的距离为 $b$．
用以上两式消去 $v_1$，再利用 $r_1 = a - c$，得
\begin{equation}
E = \frac 12 m v_0^2 = \frac{ \left\lvert k \right\rvert }{2a}
\end{equation}
再将该式的 $v_0$ 代入
eq. 14 左边得
\begin{equation}
L = b\sqrt{\frac{m \left\lvert k \right\rvert }{a}}
\end{equation}
1. ^ 高中所学的库仑定律的系数 $k$ 在大学物理中通常记为 $1/(4\pi\epsilon_0)$，其中 $\epsilon_0$ 为真空中的电介质常数．
2. ^ 显然只有引力（$k < 0$）可以产生非正机械能，即椭圆轨或抛物线轨道．