开普勒第一定律的证明

Prerequisite　开普勒三定律

　　行星轨道是以中心天体为焦点的任意圆锥曲线¹．极坐标中，圆锥曲线的方程为

\begin{equation} r = \frac{p}{1 - e \cos \theta } \end{equation}

令太阳中心天体在坐标原点，则行星沿该轨道运行．

用 LRL 矢量证明

Prerequisite　拉普拉斯—龙格—楞次矢量

　　我们先来看一种无需微分方程的推导，将开普勒问题中的 LRL 矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 内积位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} = ( \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - mkr \end{equation}

由矢量混合积公式eq. 2 ，右边第一项为

\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{L}} = L^2 \end{equation}

令 $\theta$ 为从 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} $ 转向 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 的夹角（令极轴与矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 平行，如fig. 1 ），则eq. 2 变为

Fig. 1：LRL 矢量与位置矢量夹角

\begin{equation} Ar\cos\theta = L^2 - mkr \end{equation}

可得极坐标中的轨道为圆锥曲线的极坐标方程²

\begin{equation} r(\theta) = \frac{p}{1 + e\cos\theta} \end{equation}

其中通径为 $p = L^2/(mk)$，离心率为 $e = A/(mk)$．

用比耐公式证明

Prerequisite　比耐公式，二阶常系数非齐次微分方程的通解

　　将平方反比力 $F(r) = -k/r^2$ 即 $F(1/u) = -ku^2$ 代入比耐公式

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} + u = -\frac{m}{L^2 u^2} F \left(\frac 1u \right) \end{equation}

通解为

\begin{equation} u(\theta) = \frac{1}{p} \left[1 - e \cos\left(\theta + \phi_0\right) \right] \end{equation}

其中

\begin{equation} p = \frac{L^2}{mk} \end{equation}

将eq. 7 代入 $r = 1/u$，得到圆锥曲线eq. 1 ．证毕．

平方反比斥力

　　当有心力从引力变为斥力时，令 $F(r) = k/r^2$ 即 $F(1/u) = ku^2$ 代入比耐公式，解得

\begin{equation}u(\theta) = -\frac{1}{p} \left[1 + e \cos\left(\theta + \phi_0\right) \right] \end{equation}

与eq. 7 相比，中的常数项由正号变为负号，这使得极坐标的双曲线方程表达双曲线离焦点较远的一支（见eq. 6 ）．

1. ^ 行星轨道不一定是椭圆，也可以是抛物线或者双曲线，但是抛物线或双曲线轨道是从无穷远来到无穷远去的轨道，不会绕中心天体旋转．所以开普勒定律作为行星运动的经验公式，只描述了椭圆．
2. ^ 对比eq. 1 会发现分母的正负号反了，这相当于把圆锥曲线旋转了 $180^\circ$，并不影响形状．