椭圆的三种定义
第二种定义
我们已经知道用焦点和准线如何定义椭圆，但从椭圆的极坐标公式难以看出椭圆的对称性，这里用相同的定义推导直角坐标的表达式．我们不妨先以一个焦点为原点定义直角坐标系，且令 $x$ 轴指向另一个焦点，则有
\begin{equation}
r = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}
\end{equation}
代入椭圆的极坐标方程
eq. 1 得
\begin{equation}
\sqrt{x^2 + y^2} = p + ex
\end{equation}
两边平方并整理得
\begin{equation}
(1 - e^2) \left(x - \frac{ep}{1 - e^2} \right) ^2 + y^2 = \frac{p^2}{1 - e^2}
\end{equation}
由此可见，如果我们把椭圆左移 $ep/(1 - e^2)$，椭圆将具有
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\end{equation}
的形式．其中 $a$ 为
半长轴，$b$ 为
半短轴．这就是椭圆的第二种定义，即把单位圆沿两个垂直方向分别均匀拉长 $a$ 和 $b$．下面来看系数的关系．首先定义椭圆的焦距为焦点到椭圆中心的距离（即以上左移的距离）为
\begin{equation}
c = \frac{ep}{1 - e^2}
\end{equation}
和
eq. 4 对比系数得
\begin{equation}
a = \frac{p}{1 - e^2} \qquad b = \frac{p}{\sqrt {1 - e^2} }
\end{equation}
以上两式可以将椭圆的极坐标方程转为直角坐标方程．另外易证
\begin{equation}
a^2 = b^2 + c^2
\end{equation}
若要从直角坐标方程变回极坐标方程，将
eq. 5 eq. 6 逆转得
\begin{equation}
e = \frac{c}{a}\qquad
p = \frac{b^2}{a}
\end{equation}
第三种定义
椭圆的第三种定义是，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于 $2a$．现在我们来证明前两种定义下的椭圆满足这个条件．由直角坐标方程可知对称性，可在椭圆的两边做两条准线，令椭圆上任意一点到两焦点的距离分别为 $r_1$ 和 $r_2$，到两准线的距离分别为 $d_1$ 和 $d_2$，则有
\begin{equation}
e = \frac{r_1}{d_1} = \frac{r_2}{d_2} = \frac{r_1 + r_2}{d_1 + d_2}
\end{equation}
所以
\begin{equation}
r_1 + r_2 = e(d_1+d_2) = 2e(c + h) = 2\frac{c}{a} \left(c + \frac{b^2}{c} \right) = 2a
\end{equation}
证毕．