抛物线的三种定义

Prerequisite　圆锥曲线的极坐标方程

第二种定义

　　我们已经知道用焦点和准线如何定义抛物线和其他圆锥曲线（eq. 1 ），抛物线的离心率 $e = 1$，所以极坐标方程为

\begin{equation} r = \frac{p}{1 - \cos \theta } \end{equation}

以与极坐标系相同的原点建立直角坐标系，要把以上方程变到直角坐标系中，将 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，$\cos \theta = x/\sqrt{x^2 + y^2}$ 代入得

\begin{equation} \sqrt{x^2 + y^2} = p + x \end{equation}

两边平方并化简得到

\begin{equation} y^2 = 2p \left(x + \frac p2 \right) \end{equation}

把双曲线沿 $x$ 轴正方向移动 $p/2$，可得标准抛物线方程

\begin{equation} y^2 = 2px \end{equation}

所以抛物线的焦距为 $f = p/2$．与椭圆和双曲线不同的是，所有的抛物线的形状都相似（形状相同，大小不同），这是因为抛物线有固定的离心率（离心率决定圆锥曲线的形状，焦距或准线决定大小）．

Fig. 1：抛物线的第三种定义

　　在 $x$ 轴正半轴作一条与准线平行的直线 $L$，则抛物线上一点 $P$ 到其焦点的距离 $r$ 与 $P$ 到 $L$ 的距离之和不变．

　　如fig. 1 ，要证明由焦点和准线定义的抛物线满足该性质，只需过点 $P$ 作从准线到直线 $L$ 的垂直线段 $AB$，由于 $r$ 等于线段 $PA$ 的长度，所以 $r$ 加上 $PB$ 的长度等于 $AB$ 的长度，与 $P$ 的位置无关．证毕．