开普勒问题的运动方程
Prerequisite 开普勒问题
，中心力场问题
若已知轨道形状，我们来计算质点在轨道上的位置如何关于时间变化．由eq. 15 得
\begin{equation}
t = \sqrt{\frac{m}{2}} \int_{r_0}^r \frac{ \,\mathrm{d}{r'} }{\sqrt{E - k/r' - L^2/(2mr'^2)}}
\end{equation}
该式对任何圆锥曲线轨道都适用，其中 $r_0$ 是轨道离中心最近的一点，令质点经过该点时 $t= 0$．把这个积分的结果 $t(r)$ 取反函数，就可以得到 $r(t)$．同理，有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{t} = \frac{mr^2}{L} \,\mathrm{d}{\theta}
\end{equation}
将
eq. 1 代入，积分得
\begin{equation}
t = \frac{L^3}{mk^2} \int_{\theta_0}^\theta \frac{ \,\mathrm{d}{\theta'} }{(1 - e\cos \theta')^2 }
\end{equation}
对抛物线（$e = 1$），有
\begin{equation}
t = \frac{L^3}{2mk^2} \left(\tan\frac{\theta}{2} + \frac{1}{3}\tan^3 \frac{\theta}{2} \right)
\end{equation}
对于椭圆（$e < 1$），可以用一个参数偏近点角（eccentric anomaly） $\psi$ 来代替 $\theta$ 会更方便．$\psi$ 的定义为
\begin{equation}
r = a(1-e\cos\psi)
\end{equation}
其中 $a$ 是半长轴．当 $\theta$ 从 $0$ 变化到 $2\pi$ 时，$\psi$ 也从 $0$ 变化到 $2\pi$，只是速度不一样．
\begin{equation}
t = \sqrt{\frac{ma^3}{-k}} (\psi - e \sin\psi)
\end{equation}
该式被称为
开普勒方程（Kepler's equation），开普勒第二定律也可以由该式验证．
对于双曲线（$k < 0$），偏近点角使用eq. 7 定义，可取任意实数，使得
\begin{equation} r = a(e\cosh\xi - 1)
\end{equation}
\begin{equation}
t = \sqrt{\frac{ma^3}{-k}} (e\sinh\xi - \xi)
\end{equation}
未完成：双曲线 $k > 0$ 情况是否也相同？
推导
未完成：……