贡献者： _Eden_; addis
约定使用东海岸度规 $\eta_{\mu\nu}=\rm{diag}(-1,1,1,1)$ 和自然单位制 $c=1$。本文对于重复出现在上指标和下指标的希腊字母 $\mu,\nu,\rho,\sigma$ 等采用爱因斯坦求和约定，例如
\begin{equation}
A_\mu B^{\mu\nu}\rightarrow \sum_{\mu=0,1,2,3}A_\mu B^{\mu\nu} ~.
\end{equation}
我们知道，一个事件被看作是四维时空中的一个点，它有给定的时间和空间坐标。如果我们考虑一个粒子的运动，其在时空中的轨迹就是一条曲线。这条曲线就被称为粒子的世界线（world line）。1
1. 类时曲线和类空曲线
我们用 $x^\mu(\lambda)$ 来刻画曲线。$\lambda$ 是刻画曲线的一个参数。那么在某点 $\lambda=\lambda_0$ 处的切矢量为
\begin{equation}
\begin{aligned}
V^\mu(\lambda=\lambda_0)=\left. \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\lambda}} \right|_{\lambda=\lambda_0}~.
\end{aligned}
\end{equation}
它衡量了该粒子在 $\lambda_0$ 处的四速度
方向（注意，由于曲线的参数化是任意的，所以我们只能确定 $V^\mu$ 正比于四速度）。
如果曲线上的任意一点都有 $\eta_{\mu\nu}V^\mu V^\nu<0$，那么曲线是类时的。
如果曲线上的任意一点都有 $\eta_{\mu\nu}V^\mu V^\nu>0$，那么曲线是类空的。如果曲线上的任意一点都有 $\eta_{\mu\nu}V^\mu V^\nu=0$，即粒子总是以光速运动，这样的世界线被称为类光的。
两个没有因果关系2的事件只能通过类空曲线相联系。
2. 固有时
对于一条类时世界线上参数间隔（$\Delta \lambda$）很小的两个点，如果将它们之间的曲线近似地看作是直线，那么它们之间的时空距离是
\begin{equation}
\Delta s=\Delta \lambda \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\lambda}} \frac{\mathrm{d}{x^\nu}}{\mathrm{d}{\lambda}} }~.
\end{equation}
利用
牛顿—莱布尼兹公式，可以将上式推广到任意类时曲线的 “长度” 公式：
\begin{equation}
\Delta s=\int_{\lambda_A}^{\lambda_B} \,\mathrm{d}{\lambda} \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\lambda}} \frac{\mathrm{d}{x^\nu}}{\mathrm{d}{\lambda}} }~.
\end{equation}
上式的结果跟 $\lambda$ 的参数化方式无关，也就是说在变换 $\lambda\rightarrow f(\lambda)$ 下，时空间隔是不变的（这个过程类似于
换元积分法）。这个不变性称为
世界线的重参数化不变性。
定义固有时：
\begin{equation}
\tau_{AB}=\int_{A}^{B} \,\mathrm{d}{\lambda} \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\lambda}} \frac{\mathrm{d}{x^\nu}}{\mathrm{d}{\lambda}} }=\int_A^B \,\mathrm{d}{\tau} = \int_A^B \sqrt{ \,\mathrm{d}{t} ^2- \,\mathrm{d}{r} ^2}~,
\end{equation}
由此可以看到 $\tau_{AB}\le t_B-t_A$。因此，对于运动的粒子，坐标时总是大于固有时的，这也是
钟慢效应的来源。一个例子是，在实验上观测到的粒子寿命总是比它的固有寿命要长。
为了确定唯一一种参数化方式，我们可以用固有时对曲线参数化：$x^\mu(\tau)$，使得 $x^\mu(\tau_A)$ 到 $x^\mu(\tau_B)$ 的固有时为 $\tau_B-\tau_A$。这要求
\begin{equation}
\sqrt{-\eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} \frac{\mathrm{d}{x^\nu}}{\mathrm{d}{\tau}} }=1~,
\end{equation}
将
式 6 代入
式 4 就可以得到 $\Delta s=\int \,\mathrm{d}{\tau} $，这是符合我们的期待的。我们将
\begin{equation}
u^\mu= \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} ,\quad \hat u=u^\mu \hat{e}_\mu~
\end{equation}
定义为粒子的
四速度。它满足归一化条件：
\begin{equation}
\hat u \cdot \hat u = u^\mu u_\mu = -1~.
\end{equation}
例如，静止粒子的四速度为 $u^\mu=(1,0,0,0)$。而在另一个参考系看来如果粒子的速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，那么其四速度为 $u^\mu=\gamma_v(1, \boldsymbol{\mathbf{v}} )$，其中 $\gamma_v=1/\sqrt{1-| \boldsymbol{\mathbf{v}} |^2}$。
1. ^ 主要参考教材：[1]。
2. ^ 更具体的介绍见因果结构。
[1] ^ 陈斌. 广义相对论 北京大学出版社（2018）第一版