换元积分法
贡献者: addis
1. 第一类换元积分法
由复合函数的求导法则,令 ,则
由于求导的逆运算是积分,有
所以如果某个积分可以看成 的形式,且 较容易求出,即可根据
式 2 写出结果。这种方法叫做
第一类换元积分法。这类换元积分法的技巧就在于如何看出被积函数的的结构是 ,只有多练习才能熟能生巧。
例 1
计算
令 ,,则上式刚好是 的形式。从基本初等函数积分表 已知 的一个原函数是 ,那么答案就是
总结到更一般的情况,根据换元积分法,若已知 ,则对于任意常数 和 ,必有 。根据积分的基本性质,两边同除 ,得
该式使用频率很高,需要熟练掌握。类似例子还有
等等。
2. 积分变量替换
换元积分法的过程在形式上可以记为(见微分)
该式把积分变量由 换成了 ,故称为
换元积分法。
3. 第二类换元积分法
第二类换元积分法从某种意义上和第一类换元积分相反。若要对一个函数积分,先把它的自变量看做另一个变量的函数,再逆向使用式 7 ,即可化简积分。
这个积分看似变复杂了,但是如果 选取适当,反而可以使计算化简。
例 2
计算
显然 ,选取 。替换后的定义域为 ,函数单调递增
1。上面积分变为
验证:根据
反函数求导法则
4. 应用到定积分
式 2 应用到定积分,有
典型的应用就是
注意这里的 可以是小于零,另外注意交换顶积分上下限需要在积分前面加负号。
1. ^ 注意任何积分换元法中的两个变量必须有一一对应的关系,即相互的函数关系在定义域内都为单调。