贡献者： addis
1. 第一类换元积分法
由复合函数的求导法则，令 $F'(x) = f(x)$，则
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} F(u(x)) = f(u(x))u'(x)~.
\end{equation}
由于求导的逆运算是积分，有
\begin{equation}
\int f(u(x))u'(x) \,\mathrm{d}{x} = F(u(x)) + C~.
\end{equation}
所以如果某个积分可以看成 $\int f(u(x))u'(x) \,\mathrm{d}{x} $ 的形式，且 $F(x)$ 较容易求出，即可根据
式 2 写出结果。这种方法叫做
第一类换元积分法。这类换元积分法的技巧就在于如何看出被积函数的的结构是 $\int f[u(x)]u'(x) \,\mathrm{d}{x} $，只有多练习才能熟能生巧。
例 1
计算
\begin{equation}
\int a \sin\left(ax + b\right) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
令 $f(x) = \sin\left(x\right) $，$u(x) = ax + b$，则上式刚好是 $\int f[u(x)]u'(x) \,\mathrm{d}{x} $ 的形式。从基本初等函数积分表 已知 $\sin x$ 的一个原函数是 $F(x) = -\cos x$，那么答案就是
\begin{equation}
F[u(x)] + C = - \cos\left(ax + b\right) + C~.
\end{equation}
总结到更一般的情况，根据换元积分法，若已知 $\int f(x) \,\mathrm{d}{x} = F(x) + C$，则对于任意常数 $a$ 和 $b$，必有 $\int a \,f(ax + b) \,\mathrm{d}{x} = F(ax + b)$。根据积分的基本性质，两边同除 $a$，得
\begin{equation}
\int f(ax + b) \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{a} F(ax + b) + C~.
\end{equation}
该式使用频率很高，需要熟练掌握。类似例子还有
\begin{equation}
\int \frac{1}{ax+b} \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{a} \ln\left(ax + b\right) +C ~, \qquad
\int \mathrm{e} ^{ax + b} \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{a} \mathrm{e} ^{ax + b}+C
\end{equation}
等等。
2. 积分变量替换
换元积分法的过程在形式上可以记为（见微分）
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int f[u(x)]u'(x) \,\mathrm{d}{x} &= \int f[u(x)] \,\mathrm{d}{[u(x)]} = \int f(u) \,\mathrm{d}{u} = F(u)+C\\
&= F[u(x)]+C~.
\end{aligned} \end{equation}
该式把积分变量由 $x$ 换成了 $u$，故称为
换元积分法。
3. 第二类换元积分法
第二类换元积分法从某种意义上和第一类换元积分相反。若要对一个函数积分，先把它的自变量看做另一个变量的函数，再逆向使用式 7 ，即可化简积分。
\begin{equation}
\int f(x) \,\mathrm{d}{x} = \int f[x(t)] \,\mathrm{d}{[x(t)]} = \int f[x(t)]x'(t) \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
这个积分看似变复杂了，但是如果 $x(t)$ 选取适当，反而可以使计算化简。
例 2
计算
\begin{equation}
\int \frac{ \,\mathrm{d}{x} }{\sqrt{1-x^2}}~.
\end{equation}
显然 $x \in ( - 1,1)$，选取 $x(t)=\sin t$。替换后的定义域为 $t \in ( -\pi/2,\pi/2)$，函数单调递增
1。上面积分变为
\begin{equation}
\int \frac{ \,\mathrm{d}{x} }{\sqrt{1-x^2}} = \int \frac{ \,\mathrm{d}{\sin t} }{\sqrt{1-\sin^2 t}} = \int \frac{\cos t \,\mathrm{d}{t} }{\cos t} = \int 1 \,\mathrm{d}{t} = t + C = \arcsin x + C~.
\end{equation}
验证：根据
反函数求导法则
\begin{equation}
\arcsin'x = \frac{1}{ \cos\left(\arcsin x\right) } = \frac{1}{\sqrt {1 - {x^2}} }~.
\end{equation}
4. 应用到定积分
式 2 应用到定积分，有
\begin{equation}
\int_{x_1}^{x_2} f(u(x))u'(x) \,\mathrm{d}{x} = \int_{u(x_1)}^{u(x_2)} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
典型的应用就是
\begin{equation}
\int_{x_1}^{x_2} f(ax+b) \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{a}\int_{ax_1+b}^{ax_2+b} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
注意这里的 $a$ 可以是小于零，另外注意交换顶积分上下限需要在积分前面加负号。
1. ^ 注意任何积分换元法中的两个变量必须有一一对应的关系，即相互的函数关系在定义域内都为单调。