换元积分法

                     

贡献者: addis

预备知识 1 不定积分,复合函数求导

1. 第一类换元积分法

   由复合函数的求导法则,令 F(x)=f(x),则

(1)ddxF(u(x))=f(u(x))u(x) .
由于求导的逆运算是积分,有
(2)f(u(x))u(x)dx=F(u(x))+C .
所以如果某个积分可以看成 f(u(x))u(x)dx 的形式,且 F(x) 较容易求出,即可根据式 2 写出结果。这种方法叫做第一类换元积分法。这类换元积分法的技巧就在于如何看出被积函数的的结构是 f[u(x)]u(x)dx,只有多练习才能熟能生巧。

例 1 

   计算

(3)asin(ax+b)dx .
f(x)=sin(x)u(x)=ax+b,则上式刚好是 f[u(x)]u(x)dx 的形式。从基本初等函数积分表 已知 sinx 的一个原函数是 F(x)=cosx,那么答案就是
(4)F[u(x)]+C=cos(ax+b)+C .

   总结到更一般的情况,根据换元积分法,若已知 f(x)dx=F(x)+C,则对于任意常数 ab,必有 af(ax+b)dx=F(ax+b)。根据积分的基本性质,两边同除 a,得

(5)f(ax+b)dx=1aF(ax+b)+C .
该式使用频率很高,需要熟练掌握。类似例子还有
(6)1ax+bdx=1aln(ax+b)+C ,eax+bdx=1aeax+b+C
等等。

2. 积分变量替换

   换元积分法的过程在形式上可以记为(见微分

(7)f[u(x)]u(x)dx=f[u(x)]d[u(x)]=f(u)du=F(u)+C=F[u(x)]+C .
该式把积分变量由 x 换成了 u,故称为换元积分法

3. 第二类换元积分法

   第二类换元积分法从某种意义上和第一类换元积分相反。若要对一个函数积分,先把它的自变量看做另一个变量的函数,再逆向使用式 7 ,即可化简积分。

(8)f(x)dx=f[x(t)]d[x(t)]=f[x(t)]x(t)dt .
这个积分看似变复杂了,但是如果 x(t) 选取适当,反而可以使计算化简。

例 2 

   计算

(9)dx1x2 .
显然 x(1,1),选取 x(t)=sint。替换后的定义域为 t(π/2,π/2),函数单调递增1。上面积分变为
(10)dx1x2=dsint1sin2t=costdtcost=1dt=t+C=arcsinx+C .
验证:根据反函数求导法则
(11)arcsinx=1cos(arcsinx)=11x2 .

4. 应用到定积分

预备知识 2 定积分(极简微积分)

   式 2 应用到定积分,有

(12)x1x2f(u(x))u(x)dx=u(x1)u(x2)f(x)dx .
典型的应用就是
(13)x1x2f(ax+b)dx=1aax1+bax2+bf(x)dx .
注意这里的 a 可以是小于零,另外注意交换顶积分上下限需要在积分前面加负号。


1. ^ 注意任何积分换元法中的两个变量必须有一一对应的关系,即相互的函数关系在定义域内都为单调。

                     

© 小时科技 保留一切权利