因果结构

贡献者： JierPeter

预备知识　连通性，黎曼度量与伪黎曼度量

　　在研究时空的理论中，因果结构是一个基本问题。根据 David B. Malament 于 1977 年发表的论文The class of continuous timelike curves determines the topology of spacetime¹，在一个给定的时空中，确定了弱因果性就可以完全确定该时空的拓扑结构。本文对因果结构相关的部分概念进行了收集和解释，方便阅读相关论文时进行对照。

1. 概念

时空

　　一个时空（spacetime）是指一个无界的、连通的四维伪黎曼流形 $(M, g)$，其中 $g$ 是一个洛伦兹度规。该度规在任何观察者的参考系中可以表示为对角矩阵 $ \operatorname {diag}(1, -1, -1, -1)$。

　　时间流逝方向分为未来导向和过去导向的。这个分类是指时空中类时切向量的等价划分。如果两个类时切向量的内积为正，那么我们把它们归入同一类，由此把所有类时向量分成两类，称其中一类为未来导向的，另一类为过去导向的。未来和过去的选择是随机的，因为在目前的研究中两个等价类是完全等同的，尚未找到区分它们的细致结构——然而实际的宇宙中似乎有明显的时间导向，因此寻找描述两个等价类根本差异的结构也是数学物理学中一个令人感兴趣的话题。

曲线

　　一条曲线（curve）是指一个从实数轴上的任意开区间 $I$ 到拓扑空间的连续映射，在时空理论中这个拓扑空间自然是指时空。如果曲线是一个光滑映射，那么也被称为一条光滑曲线（smooth curve）。另外，此术语等同于一些拓扑学家口中的道路（path）。

　　一条类时曲线（timelike curve）是指一条切向量处处类时的曲线。

　　一条类空曲线（spacelike curve）是指一条切向量处处类空的曲线。

　　一条类光曲线（lightlike curve）或零曲线（null curve）是指一条切向量处处类光的曲线。

　　一条因果曲线（causal curve）或非类空曲线（non-spacelike curve）是指一条类时或类光的曲线，它以 “因果” 命名是因为它完全可以成为一个粒子的世界线，因而体现了粒子随着时间运动的因果顺序。

因果结构

　　对于时空中的两个点 $x, y\in M$，我们定义它们之间的不同关系如下：

$y$ 是 $x$ 的类时未来（timelike/chronological curve），如果存在一条未来导向的类时曲线自 $x$ 出发，并经过 $y$。这个关系常记为 $x\ll y$。
$y$ 是 $x$ 的严格因果未来，如果存在一条未来导向的类时或类光曲线 $\gamma:I\rightarrow M$，使得存在 $t_1< t_2$，$\gamma(t_1)=x$ 且 $\gamma(t_2)=y$。这个关系常记为 $x< y$。
$y$ 是 $x$ 的因果未来，如果 $y$ 是 $x$ 的严格因果未来或者 $x=y$²。这个关系常记为 $x\leq y$ 或者 $x\prec y$。

　　对于时空中的两个集合 $A$ 与 $O$，

记集合 $I^+(A, O)$ 为 “能成为某个 $p\in A$ 的类时未来的 $q\in O$” 的集合，称之为$A$ 关于 $O$ 的类时未来（choronological future of $A$ relative to $O$）。
记集合 $J^+(A, O)$ 为 “能成为某个 $p\in A$ 的严格因果未来的 $q\in O$” 的集合，称之为$A$ 关于 $O$ 的因果未来（causal future of $A$ relative to $O$）。
记集合 $E^+(A, O)=J^+(A, O)-I^+(A, O)$，称之为horismos future of $A$ relative to $O$³。

　　将以上定义中的 “类时未来” 换成 “类时过去”，即将类时未来中的 “未来导向” 替换为 “过去导向”，可以相应得到 $I^-(A, O)$、$J^-(A, O)$ 和 $E^-(A, O)$。

　　记：

$I^+(A, O)\cup I^-(A, O)=I(A,O)$
$J^+(A, O)\cup J^-(A, O)=J(A,O)$
$E^+(A, O)\cup E^-(A, O)=E(A,O)$

　　以上所有表示中，如果 $A=\{q\}$，那么也可以用 $q$ 代替 $A$，比如 $I(A, O)$ 可以表示为 $I(q, O)$。如果 $O$ 是整个时空 $M$，那么可以省略不写，如 $I(A, M)$ 可以表示为 $I(A)$。

　　如果 $I(A, O)=\varnothing$，那么称 $A$ 在 $O$ 中是非时序的（achronal）。

2. 因果结构对时空结构的决定意义

　　给定两个时空 $(M, g)$ 和 $(M', g')$。如果 $f:M\rightarrow M'$ 是一个双射，并且对于 $M$ 中的两个点 $p\ll q$ 必有 $f(p)\ll f(q)$，那么称 $f$ 是因果同构（causal isomorphism），也可以说这两个时空是因果同构（causally isomorphic）的。

　　在 Malament 1977 年的论文（文章开始部分所提的那篇）中，证明了如果两个时空间存在一个因果同构，并且两个时空都进行了未来定向和过去定向，那么这两个时空就是同胚的。

1. ^ Malament, Journal of Mathematical Physics 18:7, 1399-1404.
2. ^ 或者说，存在一条未来导向的类时或类光曲线 $\gamma:I\rightarrow M$，使得存在 $t_1\leq t_2$，$\gamma(t_1)=x$ 且 $\gamma(t_2)=y$。
3. ^ 尚未找到正式翻译，笔者暂定翻译为 “地平未来”（根据 horismos 的构词）或者 “测地未来”（根据它的物理意义，沿着测地线）。