贡献者： 零穹; addis
预备知识 光与物质粒子的统一（相对论点粒子的作用量）
，相对论补全
[1] 本节将以一种 “统一” 的角度给出电磁力和引力的作用量。约定：重复指标代表求和，$\mu,\nu,\rho,\ldots$ 指标取值遍及所有分量 $0,1,2,3$，$i,j,k,\ldots$ 范围除去时间分量 $0$。
1. 从自由粒子到势阱中的粒子
在光与物质粒子的统一（相对论点粒子的作用量）一节，我们得到了自由粒子的作用量，其具有下面的形式
\begin{equation}
S=-m\int\sqrt{-\eta_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu}=-m\int\sqrt{ \,\mathrm{d}{t} ^2- \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } ^2}~.
\end{equation}
现在考虑粒子处于势 $V(x)$ 中。尽管非相对论情形（Newton 力学）时处于势为 $V(x)$ 的粒子作用量为
\begin{equation}
S_{NR}=\int \,\mathrm{d}{t} \left(\frac{1}{2}m \left( \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }}{\mathrm{d}{t}} \right) ^2-V(x) \right) ,~
\end{equation}
但是我们并不能理所当然的将 $V(x)$ 加入
式 1 中得到相对论情形处于势阱 $V(x)$ 中的粒子。换言之，我们不知道如何将 $V(x)$ 放入
式 1 中。
尽管如此，然而可以肯定的是，将 $V(x)$ 放入式 1 中，只有两种可能：a.根号外面，b.根号里面。因此，我们有如下的两种选择：
- E:
\begin{equation}
S=-\int{m\sqrt{-\eta_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu}+V(x) \,\mathrm{d}{t} }.~
\end{equation}
- G:
\begin{equation}
S=-m\int\sqrt{ \left(1+\frac{2V}{m} \right) \,\mathrm{d}{t} ^2- \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } ^2}~.
\end{equation}
选项 G 来源于非相对论极限：首先，$ \left\lvert \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } \right\rvert \ll \,\mathrm{d}{t} $，所以
\begin{equation}
S\approx-m\int \left\{\sqrt{ \left(1+\frac{2V}{m} \right) } \,\mathrm{d}{t} -\frac{ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^2} }{2\sqrt{1+\frac{2V}{m}} \,\mathrm{d}{t} } \right\} ~.
\end{equation}
其次，令 $V\ll m$（即 $V\ll mc^2$），则
\begin{equation}
\sqrt{1+\frac{2V}{m}}\approx1+\frac{V}{m}.~
\end{equation}
由于在
式 5 中，第二项已经远小于第一项了，因此第二项不需要再保留到 $\frac{V}{m}$ 的修正项，因此
\begin{equation}
\begin{aligned}
S\approx&-m\int \left\{(1+\frac{V}{m}) \,\mathrm{d}{t} -\frac{ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } ^2}{2 \,\mathrm{d}{t} } \right\} \\
=&\int \,\mathrm{d}{t} \left\{\frac{1}{2}m \left( \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }}{\mathrm{d}{t}} \right) ^2-V-m \right\} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
上式表明选项 $G$ 的作用量在适宜的极限下取 Newton 作用量的形式，除了多出一个常数 $-m$，而这一项我们已经知道代表着什么（见
子节 1 ）。
然而，无论是选项 E 还是 G，添加在作用量中的项都不是 Lorentz 不变的。因此，为了保持理论的 Lorentz 不变性（见相对论补全开头的说明），我们必须要进行修正。
2. 相对论补全
无论是 E 还是 G，若我们认为 $V$ 是通过外界固定和施加的，那么作用量无论如何都不能是 Lorentz 不变的。因此，为了保持 Lorentz 不变性，必须改变 $V(x)$ 的形式。改变的关键便是相对论补全。
E 的改进
首先看 E，注意 $V(x)$ 是和 $ \,\mathrm{d}{t} $ 结合的，因此可将 $V(x)$ 视为 Lorentz 矢量场 $A_\mu(x)$ 的时间分量 $A_0(x)$，而 $V(x) \,\mathrm{d}{t} $ 仅是 $A_\mu(x) \,\mathrm{d}{x} ^\mu=A_0(x) \,\mathrm{d}{t} +A_i(x) \,\mathrm{d}{x} ^i$ 的第一项。因此，我们只需引入一个矢量场 $A_\mu(x)$，从而得到如下作用量
\begin{equation}
S=\int \left\{-m\sqrt{-\eta_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu}+A_\mu(x) \,\mathrm{d}{x} ^\mu \right\} ~.
\end{equation}
当我们对 $x^\mu$ 进行 Lorentz 变换时，也必须对 $A_\mu$ 进行。两个 Lorentz 矢量的缩并，显然是一个 Lorentz 标量，因此，
式 8 的作用量是 Lorentz 不变的。
G 的改进
对 G 改进的关键是，平等的对待 $ \,\mathrm{d}{t} $ 和 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } $。若 $ \,\mathrm{d}{t} ^2$ 被某些函数乘，那么 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } $ 也应被某些函数乘。记 $ \left(1+\frac{2V}{m} \right) $ 为 $g$，因此得到形如 $g(x) \,\mathrm{d}{t} ^2-\tilde g(x) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } ^2$ 的式子。而在进行 Lorentz 变换时，$ \,\mathrm{d}{t} ^2$ 将变换为 $ \,\mathrm{d}{t} ^2, \,\mathrm{d}{x} ^i \,\mathrm{d}{x} ^j$ 和 $ \,\mathrm{d}{t} \,\mathrm{d}{x} ^i$ 的线性组合。这似乎预示着根号下必须出现 $ \,\mathrm{d}{t} \,\mathrm{d}{x} ^i$ 的项。
注意到 $ \,\mathrm{d}{t} ^2- \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } ^2$ 是通过 $ \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu$ 和 Minkowski 度规 $\eta_{\mu\nu}$ 缩并出现的，因此我们应当将 $ \left(1+\frac{2V}{m} \right) $ 补全为一个 Lorentz 张量 $g_{\mu\nu}(x)$ 的分量。换句话说，我们应该将 $\eta_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu$ 推广为随时空变化的矩阵场 $g_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu$。因此得到 G 的下面的改进：
\begin{equation}
S=-m\int\sqrt{-g_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu}.~
\end{equation}
而
式 4 仅仅是上式的特殊情形。
3. 电磁学的出现
现在看看式 8 对应的运动方程是什么样的。首先利用本征时间（定义 3 ）将其参数化：
\begin{equation}
S=-m\int \,\mathrm{d}{\tau} \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} \frac{\mathrm{d}{x^\nu}}{\mathrm{d}{\tau}} }+\int \,\mathrm{d}{\tau} A_\mu(x(\tau)) \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} ~.
\end{equation}
注意第二项是在粒子的时空位置 $x^\mu(\tau)$ 处计算的。换句话说，场 $A_\mu(x)$ 遍及时空，但粒子仅仅在特定的位置取样。
对式 10 变分，得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\delta(-m\int \,\mathrm{d}{\tau} \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} \frac{\mathrm{d}{x^\nu}}{\mathrm{d}{\tau}} })=m\int \,\mathrm{d}{\tau} \eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} \frac{\mathrm{d}{\delta x^\nu}}{\mathrm{d}{\tau}} \\
&=-m\int \,\mathrm{d}{\tau} \eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}^{2}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}^{2}} \delta x^\nu,\\
&\delta\int \,\mathrm{d}{\tau} A_\mu(x) \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} =\int \,\mathrm{d}{\tau} \left\{A_\mu(x(\tau)) \frac{\mathrm{d}{\delta x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} +[\partial_\nu A_\mu(x(\tau))\delta x^\nu] \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} \right\} \\
&=\int \,\mathrm{d}{\tau} \left\{-\partial_\nu A_\mu(x)+\partial_\mu A_\nu(x) \right\} \frac{\mathrm{d}{x^\nu}}{\mathrm{d}{\tau}} \delta x^\mu\\
\end{aligned}~.
\end{equation}
因此，反对称的张量场
\begin{equation}
F_{\mu\nu}\equiv\partial_\mu A_\nu(x)-\partial_\nu A_\mu(x).~
\end{equation}
出现了。联立
式 11 和
式 12 得
\begin{equation}
\delta S=\int \,\mathrm{d}{\tau} \left(-m\eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}^{2}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}^{2}} +F_{\nu\mu} \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} \right) \delta x^\nu~.
\end{equation}
从而运动方程为
\begin{equation}
m \frac{\mathrm{d}^{2}{x^\rho}}{\mathrm{d}{\tau}^{2}} ={F^\rho}_{\mu} \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} ~.
\end{equation}
利用四动量的定义 $p^\mu:= \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} $，上式写为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{p^\rho}}{\mathrm{d}{\tau}} ={F^\rho}_{\mu} \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} ~.
\end{equation}
定义
\begin{equation}
E^i:=F^{0i},\quad B_i:=\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}F^{jk}.~
\end{equation}
则 $\epsilon^{imn}B_i=\frac{1}{2}(\delta^m_j\delta^{n}_k-\delta^m_k\delta^{n}_j)F^{jk}=F^{mn}$。于是
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}{p^i}}{\mathrm{d}{\tau}} =&{F^i}_{0} \frac{\mathrm{d}{x^0}}{\mathrm{d}{\tau}} +F^{ij} \frac{\mathrm{d}{x^j}}{\mathrm{d}{\tau}} \\
=&{E^i} \frac{\mathrm{d}{x^0}}{\mathrm{d}{\tau}} +\epsilon^{kij}B_k \frac{\mathrm{d}{x^j}}{\mathrm{d}{\tau}} \\
\frac{\mathrm{d}{p^0}}{\mathrm{d}{\tau}} =&F^{0}_i \frac{\mathrm{d}{x^i}}{\mathrm{d}{\tau}} .
\end{aligned}~
\end{equation}
注意 $p^\mu=(E, \boldsymbol{\mathbf{p}} )$，并改用参数 $t$，则上式写为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} ,\quad \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ,~
\end{equation}
因此，我们得到了电磁学中粒子在磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 中运动的 Lorentz 力定律，和粒子在电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 中如何获得能量的定律。
电荷的概念
注意作用量中的 $x^\mu$ 代表的是粒子的时空坐标，为了不和时空本身混肴，我们最好用 $X^\mu$ 标记。因此，当有多个粒子时，一般的作用量则写为
\begin{equation}
S=-\sum_a m_a\int \,\mathrm{d}{\tau} \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}{X_a^\mu}}{\mathrm{d}{\tau_a}} \frac{\mathrm{d}{X_a^\nu}}{\mathrm{d}{\tau_a}} }+\sum_a e_a\int \,\mathrm{d}{\tau} A_\mu(X_a(\tau_a)) \frac{\mathrm{d}{X_a^\mu}}{\mathrm{d}{\tau_a}} ~.
\end{equation}
这里，每一粒子通过一个不同的强度 $e_a$ 与场 $A_\mu$ “耦合”，而当只有一个粒子时，$e$ 可以归到 $A_\mu$ 里面。我们称 $e_a$ 为
电荷（charge）。对应的运动方程则为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{p_a^\rho}}{\mathrm{d}{\tau_a}} =e_a{F^\rho}_{\mu}(X_a(\tau_a)) \frac{\mathrm{d}{X_a^\mu}}{\mathrm{d}{\tau_a}} ~.
\end{equation}
无参数化的形式为
\begin{equation}
S=\int\sum_a \left\{-m_a\sqrt{-\eta_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{X} _a^\mu \,\mathrm{d}{X} _a^\nu}+e_a A_\mu(X_a) \,\mathrm{d}{X} _a^\mu \right\} ~.
\end{equation}
4. 引力的出现
对于选项 G，我们获得了
\begin{equation}
S=-m\int\sqrt{-g_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu}.~
\end{equation}
其中，$g_{00}=- \left(1+\frac{2V}{m} \right) ,g_{0i}=g_{i0}=0,g_{ij}=\delta_{ij}$ 是其特例。
让我们处理这一特例
\begin{equation}
S=-m\int\sqrt{ \left(1+\frac{2V}{m} \right) \,\mathrm{d}{t} ^2- \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } ^2}.~
\end{equation}
考虑 Newton 引力下，质量为 $m$ 的粒子在质量为 $M$ 的物体下的受到的势 $V=-\frac{GMm}{r}$。我们可以去掉 $2V/m$ 中的 $m$（这当然需要代表引力质量的 $-GMm/r$ 中的 $m$ 和代表惯性质量的 $ma$ 中的 $m$ 是一样的），得到
\begin{equation}
S=-m\int\sqrt{ \left(1-\frac{2GM}{r} \right) \,\mathrm{d}{t} ^2- \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } ^2}.~
\end{equation}
假设粒子静止在势中，即 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } =0$，那么
\begin{equation}
S=-m\int\sqrt{ \left(1-\frac{2GM}{r} \right) \,\mathrm{d}{t} ^2}\approx-m\int \,\mathrm{d}{t} \left(1-\frac{GM}{r} \right) .~
\end{equation}
由于是静止粒子，因此成立 $ \,\mathrm{d}{\tau} = \left(1-\frac{GM}{r} \right) \,\mathrm{d}{t} $，或 $ \,\mathrm{d}{t} = \,\mathrm{d}{\tau} / \left(1-GM/r \right) > \,\mathrm{d}{\tau} $。这就是说，处于引力场中的粒子的时间走慢了。
引力影响了时间的流动！
引力和弯曲时空
考虑一堆不同质量的粒子，则代替 式 23 的是
\begin{equation}
S=-\sum_a m_a\int\sqrt{ \left(1+\frac{2V(x_a)}{m_a} \right) \,\mathrm{d}{t} _a^2- \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _a} ^2}.~
\end{equation}
若 $V(x_a)$ 不正比于 $m_a$，那么粒子经历的时间 $ \,\mathrm{d}{\tau} _a=\sqrt{ \left(1+\frac{2V(x_a)}{m_a} \right) \,\mathrm{d}{t} _a^2- \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _a} ^2}$ 将依赖于粒子的质量。即不同质量的粒子经历不同的时间流逝，除非 $V(x_a)$ 正比于 $m_a$。
现在，对一般的情形，即式 22 在多粒子情形将写为
\begin{equation}
S=-\sum_a m_a\int\sqrt{-g_{\mu\nu}(x_a) \,\mathrm{d}{x} _a^\mu \,\mathrm{d}{x} _a^\nu}.~
\end{equation}
其中，$g_{\mu\nu}(x_a)$ 依赖于粒子 $a$ 的性质，例如质量。注意上式就像是弯曲空间中的不同曲线长度的表达式，因此，粒子在引力场中，就等价于在弯曲时空一样。
注意，在数学上，平坦定义为曲率张量处处为 0 的，这意味着度规 $g_{\mu\nu}$ 处处一样。因此，若度规依赖于时空点 $x$，则时空便是非平坦的，即弯曲时空。
从上面可看出，Newton 引力是弯曲时空的一种特例（见式 7 和式 9 ），因为 $g$ 依赖于时空点 $x_a$。因此，引力可视为弯曲时空的表现。
[1] ^ A.Zee Einstein Gravity in a Nutshell