平面曲线的曲率和曲率半径（极简微积分）
贡献者： addis; ACertainUser
1我们来看一个平面上的一个光滑曲线（即处处存在切线），我们如何描述它某点处的弯曲程度呢？一种常用方法是在这点附近取曲线的一小段，然后做一个尽量与它吻合的圆，当这小段的长度趋近于 0 时，这个圆可以唯一确定。我们把这个圆叫做密切圆（osculating circle），把密切圆的半径叫做曲线在该点的曲率半径（radius of curvature） 常记为 $\rho$，曲率半径的倒数 $1/\rho$ 叫做曲率（curvature）。下面我们来具体定义曲率半径。
图 1：密切圆和曲率半径
我们先来看一个半径为 $R$ 的圆的一小段圆弧，令其长度为 $\Delta l$。作这段圆弧两端的切线，令它们的夹角为 $\Delta \theta$，那么显然满足 $R \Delta\theta = \Delta l$。
同理，对于图 1 中光滑曲线上一点，取该点附近长度为 $\Delta l$ 的一段，在其两端分别作切线，令夹角为 $\Delta\theta$ 并分别作切线的垂直线，那么当 $\Delta l \to 0$ 时两个切线在切点处的垂直线的交点就是密切圆的圆心。此时密切圆的半径，即曲率半径 $\rho$ 就是
\begin{equation}
\rho = \lim_{\Delta l \to 0} \frac{\Delta l}{\Delta \theta}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\rho = \frac{(1 + \dot y^2)^{3/2}}{\ddot y}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\rho = \frac{(r^2 + \dot r^2)^{3/2}}{r^2 + 2\dot r^2 - r\ddot r}~.
\end{equation}
1. 直角坐标系的推导
未完成：需要画图
平面上曲线的最常见描述方式就是通过定义函数 $y(x)$。我们可以通过导数计算曲线上某点切线关于 $x$ 轴的夹角 $\theta$。
\begin{equation}
\dot y \approx \frac{\Delta y}{\Delta x} = \tan \theta~.
\end{equation}
\begin{equation}
\Delta{l} \approx \frac{\Delta{x}}{\cos\theta}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \dot y^2}}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\ddot y \Delta{x} \approx \frac{\Delta{\theta}}{\cos^2\theta}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\rho = \lim_{\Delta l\to 0}\frac{\Delta l}{\Delta \theta} = \frac{1}{\ddot y\cos^3\theta} = \frac{(1 + \dot y^2)^{3/2}}{\ddot y}~.
\end{equation}
2. 极坐标系的推导
极坐标系中，同样可以用函数 $r(\theta)$ 描述曲线。为了方便，也可以姑且把上面的 $\Delta$ 都写成 $ \,\mathrm{d}{} $ 并取等号。令
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{r} }{r \,\mathrm{d}{\theta} } = \tan\alpha~,
\end{equation}
未完成：需要画图
即
\begin{equation}
\dot r = r\tan\alpha~.
\end{equation}
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{l} = \frac{r \,\mathrm{d}{\theta} }{\cos\alpha}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\ddot r \,\mathrm{d}{\theta} = \dot r\tan\alpha \,\mathrm{d}{\theta} + \frac{r}{\cos^2\alpha} \,\mathrm{d}{\alpha} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{\alpha}}{\mathrm{d}{\theta}} = (\ddot r - \dot r \tan\alpha) \frac{\cos^2\alpha}{r} = \frac{\ddot r - \dot r\tan\alpha}{r(t + \tan^2\alpha)}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\rho = \frac{ \,\mathrm{d}{l} }{ \,\mathrm{d}{\theta} - \,\mathrm{d}{\alpha} } = \frac{ \,\mathrm{d}{l} / \,\mathrm{d}{\theta} }{1 - \,\mathrm{d}{\alpha} / \,\mathrm{d}{\theta} }~.
\end{equation}
\begin{equation}
\rho = \frac{(r^2 + \dot r^2)^{3/2}}{r^2 + 2\dot r^2 - r\ddot r}~.
\end{equation}