大气密度和压强

贡献者： addis; _Eden_

预备知识　一阶线性微分方程，理想气体分压定律，积分方程

图 1：根据式 8 以及分压定律得到的大气压强随高度变化图，假设大气中没有水蒸气且温度恒定（来自维基百科）

　　现实中观测到大气温度随高度的增加而会发生变化，因此不能将大气简单地视为处于平衡态的热力学系统，这其中涉及到非平衡态的热力学机制。下面我们将构建两个较好的理论模型：等温大气模型和干绝热大气模型。湿绝热大气模型能够更好地解释大气温度随高度变化的一些现象（例如一座高山的顺风面和背风面可能存在温差），这在气象学中是很重要的一个理论：湿绝热方程。

1. 等温大气模型

　　¹以下介绍一个理想模型。假设大气是理想气体，密度随高度变化为 $ρ (z)$ 。所以高度 $z$ 处压强为

\begin{matrix} (1) & P (z) = \int_{z}^{\infty} ρ (z^{'}) g d z^{'} . \end{matrix}

其中由于大气厚度远小于地球半径，我们取

g

为常数。根据理想气体状态方程，

\begin{matrix} (2) & P V = n R T . \end{matrix}

先假设大气只是由一种分子构成，摩尔质量为

μ

，即

m = n μ

，代入有

\begin{matrix} (3) & P = \frac{m}{μ V} R T = \frac{R}{μ} ρ T, \end{matrix}

其中

P, T, ρ

都是高度的函数。代入式 1 得关于

ρ (z)

的积分方程

\begin{matrix} (4) & \frac{R}{μ} ρ (z) T (z) = \int_{z}^{\infty} ρ (z^{'}) g d z^{'} . \end{matrix}

通常来说海拔越高的地方气温越低，如果

T (z)

是已知的，就可以解出

ρ (z)

。方程两边对

z

求导，整理得

\begin{matrix} (5) & ρ^{'} (z) + \frac{1}{T (z)} [T^{'} (z) + \frac{μ g}{R}] ρ (z) = 0 . \end{matrix}

这是一个一阶线性微分方程，可以直接用公式求解。把解出的

ρ (z)

代入式 3 即可求出对应的压强

P (z)

。

　　作为一种简单情况，假设温度不随高度变化（实际上，空气的热导率很小，考虑成绝热过程能得到更加精确的结果式 16 ），那么方程变为常系数的

\begin{matrix} (6) & ρ^{'} (z) + \frac{μ g}{R T} ρ (z) = 0, \end{matrix}

容易解得

\begin{matrix} (7) & ρ (z) = ρ_{0} \exp (- \frac{μ g}{R T} z), \end{matrix}

或者

\begin{matrix} (8) & P (z) = P_{0} \exp (- \frac{μ g}{R T} z), \end{matrix}

其中

ρ_{0}, P_{0}

是某个高度

z_{0}

处的大气密度和气压。这说明恒温条件下气压随海拔升高呈指数下降，且温度越低下降越快。

　　当大气中有多种气体时，可以对每种气体分别求解，把 $P_{0}$ 替换为改气体在 $z_{0}$ 处的分压。总密度就是每种气体的密度之和。大气中的水蒸气同样也可能随着高度变化。

2. 干绝热大气模型

　　假设大气是理想气体，其热导率很小，所以大气的对流过程可以近似考虑成绝热过程（实验表明随着高度的增加大气温度下降，这说明不宜用等温大气模型），即

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} {\begin{cases} P V_{m}^{γ} = C \\ V_{m} = \frac{R T}{P}, P = \frac{ρ R T}{μ} \end{cases} \\ \Rightarrow ρ^{1 - γ} T = C^{'} \\ \Rightarrow (1 - γ) T d ρ + ρ d T = 0, \end{aligned} \end{matrix}

那么式 5 变为

\begin{matrix} (10) & \frac{γ}{γ - 1} T^{'} (z) = - \frac{μ g}{R} . \end{matrix}

积分得²

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} T & = T_{0} - \int_{z_{0}} \frac{γ - 1}{γ} \frac{μ g}{R} d z \\ \approx T_{0} [1 - \frac{γ - 1}{γ} \frac{μ g}{R T_{0}} z], \\ P & = P_{0} {[1 - \frac{γ - 1}{γ} \frac{μ g}{R T_{0}} z]}^{γ / (γ - 1)} . \end{aligned} \end{matrix}

温度

T

总是

> 0

的，且大气的绝热指数

γ > 1

，这意味着温度随高度的增加而降低。可以利用气体热容量公式式 9 约去

γ

，积分得：

\begin{matrix} (12) & T = T_{0} - \int_{z_{0}} \frac{μ g}{c_{p, m}} d z, \end{matrix}

　　 $μ, c_{p, m}$ 可近似看成常数。大气的摩尔质量为 $29 g \cdot m o l^{- 1}$ ，摩尔定压热容约为 $29 J \cdot m o l^{- 1} K^{- 1}$ ，因此计算得

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} T = T_{0} - \frac{μ g}{c_{p, m}} z, \\ T \approx T_{0} - z \cdot 10 K / k m . \end{aligned} \end{matrix}

即每升高一千米，温度降低约

10

摄氏度。该数值称为干绝热递减率。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面以及另一个页面。
2. ^ 并且可以验证，当 $γ$ 趋近于 $1$ 时，下面的方程就变为等温模型的大气压强公式。