贡献者： _Eden_
预备知识 玻尔兹曼分布（统计力学），近独立子系、理想玻色气体和费米气体
考虑由 $N$ 个全同1、近独立2的玻色子组成的系统。根据玻色分布，处在能级 $\epsilon_l$ 上的粒子数为
\begin{equation}
a_l=\frac{\omega_l}{e^{\frac{\epsilon_l-\mu}{kT}}-1}~.
\end{equation}
处于任意能级上的粒子数不能为负的，即 $a_l\ge 0$，这要求对任意能级 $\epsilon_l$ 都 $>\mu$。所以化学势 $\mu<0$。化学势可以由下式确定：
\begin{equation}
\sum_la_l=\sum_l \frac{\omega_l}{e^{\frac{\epsilon_l-\mu}{kT}}-1} =N~.
\end{equation}
可以看出，化学势随温度的降低而升高。当温度降到某一临界温度 $T_C$ 时，$\mu$ 将趋于 $-0$，大量粒子将聚集在最低的单粒子态（即基态）上，直到绝对零度时，所有粒子都会凝聚到基态上。这种无相互作用系统中，宏观数量的玻色子凝聚到能量最低的单粒子态上的现象就被称为
玻色爱因斯坦凝聚。
下面计算临界温度 $T_C$。将式 2 中的求和用积分代替，并利用式 2 化简。可以得到
\begin{equation}
\frac{2\pi V}{h^3}(2m)^{3/2}\int_0^\infty \frac{\epsilon^{1/2} \,\mathrm{d}{\epsilon} }{e^{\frac{\epsilon-\mu}{kT}}-1}=N~.
\end{equation}
当 $T$ 降到 $T_C$ 时，$\mu$ 趋于 $-0$。所以临界温度 $T_C$ 由下式给出
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\frac{2\pi V}{h^3}(2m)^{3/2}\int_0^\infty \frac{\epsilon^{1/2} \,\mathrm{d}{\epsilon} }{e^{\frac{\epsilon}{kT_C}}-1}=N~,\\
&\Rightarrow \frac{2\pi}{h^3}(2mkT_C)^{3/2}\int_0^\infty \frac{x^{1/2} \,\mathrm{d}{x} }{e^x-1}=n~,\\
&\Rightarrow T_C=\frac{h^2}{2\pi mk} \left(\frac{n}{2.612} \right) ^{2/3}~.
\end{aligned}
\end{equation}
例如将液 $^4\rm{He}$ 的数据代入，可以得到 $T_C=3.13\rm{K}$。 $^4\rm{He}$ 在 $T_\lambda=2.17\rm{K}$ 时发生一个相变，称为 $\lambda$ 相变。温度高于 $T_\lambda$ 时是正常液体，称为 $\rm{He}$Ⅰ.低于 $T_\lambda$ 时液 $^4\rm{He}$ 具有超流性，称为 $\rm{He}$Ⅱ。由于临界温度 $T_C$ 与 $T_\lambda$ 非常接近。因此发现 $^4\rm{He}$ 的超流性质后，伦敦曾提出 $^4\rm{He}$ 的 $\lambda$ 相变可能是一种玻色凝聚。但后来人们发现并不是这样，液氦的超流性是由于氦原子之间的相互作用引起的。随后，人们一直试图寻找一种真正玻色爱因斯坦·凝聚的例子。要实现真正意义上的玻色－爱因斯坦凝聚，就必须使得气体足够稀薄，以至于其原子或分子间的相互作用可以忽略。这实际上要求极低的温度。因此，只有近年来低温技术（激光冷却和磁约束的技术）得到充分发展后，才可能在实验上实现。当然，与此同时也产生了许多新的诺贝尔奖获得者。
当 $T< T_C$ 时，为了计算在最低能级 $\epsilon=0$ 的粒子数密度，不能再采用 式 4 的积分形式，必须将 $\epsilon=0$ 部分单独处理。$\epsilon>0$ 的部分仍可以用积分近似。
\begin{equation}
\begin{aligned}
&n_0(T)+\frac{2\pi}{h^3}(2mkT)^{3/2}\int_0^\infty \frac{x^{1/2} \,\mathrm{d}{x} }{e^x-1}=n~,\\
&\Rightarrow n_0(T)+n \left(\frac{T}{T_C} \right) ^{3/2}=n~,\\
&\Rightarrow n_0(T)=n \left[1- \left(\frac{T}{T_C} \right) ^{3/2} \right] ~.
\end{aligned}
\end{equation}
式 5 表明，在 $T< T_C$ 时会有宏观量级的粒子在能级 $\epsilon=0$ 凝聚。这就是玻色·爱因斯坦凝聚，简称玻色凝聚。$T_C$ 称为凝聚温度。凝聚在 $\epsilon_0$ 的粒子集合称为玻色凝聚体。凝聚体不仅能量、动量为 $0$，由于微观状态完全确定，其熵也为 $0$。凝聚体对压强也没有贡献。
根据玻色分布可以计算玻色气体的内能，从而计算热容。
\begin{equation}
\begin{aligned}
U&=\frac{2\pi V}{h^3}(2m)^{3/2}\int_0^\infty \frac{\epsilon^{3/2} \,\mathrm{d}{\epsilon} }{e^{\epsilon/kT}-1}\\
&=\frac{2\pi V}{h^3}(2mkT)^{3/2}kT\int_0^\infty \frac{x^{3/2} \,\mathrm{d}{x} }{e^{x}-1}\\&=\frac{2\pi V}{h^3}(2mkT)^{3/2}kT\cdot \frac{3\sqrt{\pi}}{4}\cdot 1.341
\\
&=0.770NkT \left(\frac{T}{T_C} \right) ^{3/2}~,
\end{aligned}
\end{equation}
所以定容热容为
\begin{equation}
C_V= \left(\frac{\partial U}{\partial T} \right) _V=\frac{5}{2}\frac{U}{T}=1.925Nk \left(\frac{T}{T_C} \right) ^{3/2}~.
\end{equation}
于是 $T< T_C$ 时理想玻色气体的 $C_V$ 与 $T^{3/2}$ 成正比。到 $T=T_C$ 时热容有一处尖峰，$C_V$ 达到极大值；高温时应趋向于经典值 $\frac{3}{2}Nk$。
1. ^ 需要考虑全同粒子假设，$\Omega=\Omega_{M.B.}/N!$。
2. ^ 近独立的意思是，系统的总能量近似等于所有单粒子能量的总和，即忽略粒子相互作用势。这是一个极粗糙的近似，但我们可以以此简化计算得到系统可能的一些性质。