贡献者： addis
预备知识 1 傅里叶变换（指数）
，平面电磁波的能量叠加
对于真空中的平面波电磁波，沿 $x$ 轴传播，波速恒定为 $c$，如果知道某点 $x_0$ 处的电场—时间关系 $g(t)$，如何求波函数 $f(x - ct)$ 呢？代入 $x = x_0$ 可知 $g(t) = f(x_0 - ct)$，所以
\begin{equation}
f(x) = g \left(\frac{x_0 - x}{c} \right) ~.
\end{equation}
当这个波包完整穿过一个 $y$-$z$ 平面后，穿过平面的能量面密度 $\sigma_E$ 等于能量体密度（式 5 ）在传播方向的积分（积分上下限为 $\pm\infty$）
\begin{equation}
\sigma_E = \epsilon_0 \int f(x)^2 \,\mathrm{d}{x} = \epsilon_0 \int g^2 \left(\frac{x_0 - x}{c} \right) \,\mathrm{d}{x} = c\epsilon_0 \int g^2(u) \,\mathrm{d}{u} ~.
\end{equation}
另一种方法是把
坡印廷矢量对时间积分，同样能得到该式。
1. 能量的频率分布
根据傅里叶变换的归一化不变性（式 16 ），若令 $g$ 的傅里叶变换为 $\tilde g$ 则1
\begin{equation}
\sigma_E = c\epsilon_0 \int_{-\infty}^{+\infty} \left\lvert \tilde g(\omega) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{\omega} = 2c\epsilon_0 \int_{0}^{+\infty} \left\lvert \tilde g(\omega) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{\omega} ~.
\end{equation}
这相当于把波包看作是许多不同频率简谐波的叠加，总能量面密度是每个简谐波的能量面密度叠加。所以能量面密度的频率分布，即
单位频率的能量面密度为
2
\begin{equation}
s(\omega) = 2c\epsilon_0 \left\lvert \tilde g(\omega) \right\rvert ^2~.
\end{equation}
考虑到光子能量为 $E = \omega\hbar$，光子能量分布为
\begin{equation}
s(E) = \frac{2c\epsilon_0}{\hbar} \left\lvert \tilde g \left(\frac{E}{\hbar} \right) \right\rvert ^2~.
\end{equation}
用矢势表示
在库仑规范下，矢势为 $A(t)$，对于波包有（式 7 ）
\begin{equation}
g(t) = - \frac{\mathrm{d}{A(t)}}{\mathrm{d}{t}} ~.
\end{equation}
由傅里叶变换的求导公式（
式 18 ）得
\begin{equation}
\tilde g(\omega) = - \mathrm{i} \omega \tilde A(\omega)~.
\end{equation}
代入
式 4 得
\begin{equation}
s(\omega) = 2c\epsilon_0 \omega^2 \left\lvert \tilde A(\omega) \right\rvert ^2~,
\end{equation}
若使用
高斯单位制，有
\begin{equation}
s(\omega) = \frac{\omega^2}{2\pi c} \left\lvert \tilde A(\omega) \right\rvert ^2 \qquad (\text{高斯单位制})~.
\end{equation}
1. ^ 第二个等号中，由式 4 得 $ \left\lvert \tilde g(-\omega) \right\rvert ^2 = \left\lvert \tilde g(\omega) \right\rvert ^2$，所以负半轴的积分与正半轴相等。
2. ^ 原子单位制：$s(\omega) = c \left\lvert \tilde g(\omega) \right\rvert ^2/(2\pi)$