真空中的平面电磁波

贡献者： ACertainUser; addis

预备知识 1　电场波动方程

图 1：平面电磁波的电磁场分布。注意该例子中，电场矢量与

x, y

坐标无关，并占据整个空间（图片来自维基百科）.一个可动的模型（站外链接）

1. 波函数

　　 $E, B$ 均为矢量场，即电场 $E$ 或磁场 $B$ 均是关于空间与时间的矢量函数 $E = E (r, t), B = B (r, t)$ 。

　　完全类似于机械波，电磁波的波函数的通解可以写为一组平面简谐波的线性组合。

三角形式

　　平面电磁波为

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} E (r, t) = E_{0} \cos (k \cdot r - ω t + φ_{0}), \\ B (r, t) = B_{0} \cos (k \cdot r - ω t + φ_{0}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　 $E$ 的各分量即为 $E = (\begin{matrix} E_{x 0} \cos (k \cdot r - ω t + φ_{x 0}) \\ E_{y 0} \cos (k \cdot r - ω t + φ_{y 0}) \\ E_{z 0} \cos (k \cdot r - ω t + φ_{z 0}) \end{matrix}) .$

　　请注意， $E$ 各分量的初相位可以不同，并且之间没有直接的约束关系。这一点没有很好地反映在式 1 中。

复指数形式

　　或写为复数形式。复数形式的波函数更便于求导、相乘等计算，并在某些情况下是必不可少的数学工具（但也更难懂）。最终 “实际存在的场” 是他的实数部分 $E = Re (\tilde{E})$

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \tilde{E} = \tilde{E_{0}} e^{i (k \cdot r - ω t)}, \\ \tilde{B} = \tilde{B_{0}} e^{i (k \cdot r - ω t)} . \end{aligned} \end{matrix}

　　 $\tilde{E_{0}}$ 表明 $\tilde{E_{0}}$ 是一个复矢量，即它的各分量是一个复数。 ${\tilde{E}}_{0}$ 包括了初相位信息，写为分量形式即为 $\tilde{E_{0}} = (\begin{matrix} E_{x 0} e^{i φ_{x 0}} \\ E_{y 0} e^{i φ_{x 0}} \\ E_{z 0} e^{i φ_{x 0}} \end{matrix})$ 。同理， $\tilde{E}$ 写为分量形式即为 $\tilde{E} = (\begin{matrix} E_{x 0} e^{i (k \cdot r - ω t + φ_{x 0})} \\ E_{y 0} e^{i (k \cdot r - ω t + φ_{y 0})} \\ E_{z 0} e^{i (k \cdot r - ω t + φ_{z 0})} \end{matrix}) .$

2. 电磁波基本结论

波速

　　波速等于真空中的光速 $c$ ，且

\begin{matrix} (3) & c = \frac{1}{\sqrt{ϵ_{0} μ_{0}}} = 299, 792, 458 m / s . \end{matrix}

波的性质

$k$ 被称为波矢，他的方向是电磁波的传播方向。
“色散关系”： $k^{2} = \frac{ω^{2}}{c^{2}}$ 。
$k = \frac{2 π}{λ}$ , $ω = \frac{2 π}{T}, c = \frac{λ}{T}$
电磁波是横波：即在电磁场传播方向 $k$ 上没有电场、磁场的分量。 $k \cdot E = 0$ (如果 $E_{0}$ 中存在平行于 $k$ 的分量，那么 $\nabla \cdot E \neq 0$ ，违反麦克斯韦方程，所以二者必须垂直)

电场与磁场

　　电磁波中电场与磁场二者不是相互独立的，而是互相紧密关联。在一点处的电场与磁场满足：

\begin{matrix} (4) & {\tilde{B}}_{0} = \frac{1}{ω} k \times {\tilde{E}}_{0} . \end{matrix}

由此，可推导出以下结论：

$E, B, k$ 互相垂直，且成右手螺旋关系。见图 1 右侧
$E \cdot B = 0, E \times B ∥ k$ ， $k \times E ∥ B, . . .$ 。
$| E_{0} | = c | B_{0} |$

　　可见，只要知道了 $E$ ，就能很快确定同一处的 $B$ 。

　　部分推导可见 “电场波动方程”

能量密度

预备知识 2　电场的能量，磁场的能量

　　任意一点的瞬时能量密度为

\begin{matrix} (5) & ρ_{E} = \frac{1}{2} (ϵ_{0} E^{2} + \frac{B^{2}}{μ_{0}}) = ϵ_{0} E^{2} . \end{matrix}

虽然磁场 “数值上” 小于电场强度；但能量上，电场和磁场的能量相同，各贡献总能量一半。

　　（一个周期内的）平均能量密度

\begin{matrix} (6) & {\bar{ρ}}_{E} = \frac{1}{2} ϵ_{0} E^{2} . \end{matrix}

　　平均能流密度（光强）为

\begin{matrix} (7) & I = c {\bar{ρ}}_{E} = \frac{1}{2} c ϵ_{0} E_{0}^{2} . \end{matrix}

另一个基于坡印廷矢量的推导见例 1

1. ^ 参考 [1] 相关章节与周磊教授的讲义。

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed