真空中的平面电磁波

贡献者： ACertainUser; addis

预备知识 1　电场波动方程

图 1：平面电磁波的电磁场分布。注意该例子中，电场矢量与 $x, y$ 坐标无关，并占据整个空间（图片来自维基百科）.一个可动的模型（站外链接）

1. 波函数

　　 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 均为矢量场，即电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 或磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 均是关于空间与时间的矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t), \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$。

　　完全类似于机械波，电磁波的波函数的通解可以写为一组平面简谐波的线性组合。

三角形式

　　平面电磁波为

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{E}} _0 \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \varphi_0\right) ~,\\ & \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{B}} _0 \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \varphi_0\right) ~. \end{aligned} \end{equation}

　　 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 的各分量即为 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = \begin{pmatrix} E_{x0} \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t+ \varphi_{x0}\right) \\ E_{y0} \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t+ \varphi_{y0}\right) \\ E_{z0} \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t+ \varphi_{z0}\right) \end{pmatrix}~. $

　　请注意，$ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 各分量的初相位可以不同，并且之间没有直接的约束关系。这一点没有很好地反映在式 1 中。

复指数形式

　　或写为复数形式。复数形式的波函数更便于求导、相乘等计算，并在某些情况下是必不可少的数学工具（但也更难懂）。最终 “实际存在的场” 是他的实数部分 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = \operatorname{Re} (\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} })$

\begin{equation} \begin{aligned} &\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} } = \tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} _0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t)}~,\\ &\tilde { \boldsymbol{\mathbf{B}} } = \tilde { \boldsymbol{\mathbf{B}} _0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t)}~. \end{aligned} \end{equation}

　　 $\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} _0}$ 表明 $\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} _0}$ 是一个复矢量，即它的各分量是一个复数。$\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} }_0$ 包括了初相位信息，写为分量形式即为 $ \tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} _0} = \begin{pmatrix} E_{x0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \varphi_{x0}}\\ E_{y0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \varphi_{x0}}\\ E_{z0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \varphi_{x0}}\\ \end{pmatrix} $。同理，$\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} }$ 写为分量形式即为 $\tilde { \boldsymbol{\mathbf{E}} } = \begin{pmatrix} E_{x0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \varphi_{x0})}\\ E_{y0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \varphi_{y0})}\\ E_{z0} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \varphi_{z0})}\\ \end{pmatrix}~. $

2. 电磁波基本结论

波速

　　波速等于真空中的光速 $c$，且

\begin{equation} c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}} = 299,792,458 \,\mathrm{m/s} ~. \end{equation}

波的性质

$ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 被称为波矢，他的方向是电磁波的传播方向。
“色散关系”：$k^2=\frac{\omega^2}{c^2}$。
$k=\frac{2\pi}{\lambda}$, $\omega=\frac{2\pi}{T}, c=\frac{\lambda}{T}$
电磁波是横波：即在电磁场传播方向 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 上没有电场、磁场的分量。$ \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} = 0$ (如果 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _0$ 中存在平行于 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 的分量，那么 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} \ne 0$，违反麦克斯韦方程，所以二者必须垂直)

电场与磁场

　　电磁波中电场与磁场二者不是相互独立的，而是互相紧密关联。在一点处的电场与磁场满足：

\begin{equation} \tilde { \boldsymbol{\mathbf{B}} }_0 = \frac{1}{\omega} \boldsymbol{\mathbf{k}} \times \tilde{ \boldsymbol{\mathbf{E}} }_0 ~. \end{equation}

由此，可推导出以下结论：

$ \boldsymbol{\mathbf{E}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} , \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 互相垂直，且成右手螺旋关系。见图 1 右侧
$ \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0, \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} \parallel \boldsymbol{\mathbf{k}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{k}} \times \boldsymbol{\mathbf{E}} \parallel \boldsymbol{\mathbf{B}} , ...$。
$ \left\lvert E_0 \right\rvert =c \left\lvert B_0 \right\rvert $

　　可见，只要知道了 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $，就能很快确定同一处的 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $。

　　部分推导可见 “电场波动方程”

能量密度

预备知识 2　电场的能量，磁场的能量

　　任意一点的瞬时能量密度为

\begin{equation} \rho_E = \frac{1}{2} \left(\epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0} \right) = \epsilon_0 E^2~. \end{equation}

虽然磁场 “数值上” 小于电场强度；但能量上，电场和磁场的能量相同，各贡献总能量一半。

　　（一个周期内的）平均能量密度

\begin{equation} \bar \rho_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2~. \end{equation}

　　平均能流密度（光强）为

\begin{equation} I = c \bar \rho_E = \frac12 c\epsilon_0 E_0^2~. \end{equation}

另一个基于坡印廷矢量的推导见例 1

1. ^ 参考 [1] 相关章节与周磊教授的讲义。

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed