菲涅尔公式、布儒斯特角、临界角、内反射与外反射
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1. 菲涅尔公式
图 1：菲涅尔公式
利用具体的电磁场的边界条件
- $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{D}} = 0$ 和 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0$ 分别对应 $\epsilon \boldsymbol{\mathbf{E}} _\bot = \epsilon' \boldsymbol{\mathbf{E}} '_\bot$ 和 $\epsilon \boldsymbol{\mathbf{B}} _\bot = \epsilon' \boldsymbol{\mathbf{B}} '_\bot$。
- $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = 0$ 和 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{H}} = 0$ 分别对应 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _{//} = \boldsymbol{\mathbf{E}} '_{//}$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} _{//}/\mu = \boldsymbol{\mathbf{B}} '_{//}/\mu'$。
一般情况下介质的磁导率与真空区磁导率的区别可忽略：$\mu_1\approx\mu_2\approx\mu_0=1$。此时 $m_i=n_i/\mu_i \approx n_i$，菲涅尔公式可以简化为：
\begin{equation}
r_s \equiv \left(\frac{E_R}{E_I}\right)_s = \frac{n_1\cos{\theta_i} - n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t}~,
\end{equation}
\begin{equation}
t_s \equiv \left(\frac{E_T}{E_I}\right)_s = \frac{2 n_1\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t}~.
\end{equation}
\begin{equation}
r_p \equiv \left(\frac{E_R}{E_I}\right)_p = \frac{n_2\cos{\theta_i} - n_1\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_t + n_2\cos\theta_i}~,
\end{equation}
\begin{equation}
t_p \equiv \left(\frac{E_T}{E_I}\right)_p = \frac{2 n_1\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_t + n_2\cos\theta_i}~.
\end{equation}
应用斯涅尔定律，可以进一步使记号简化。别害怕，它们只是看起来有些复杂：
\begin{equation}
r_s = -\frac{ \sin\left(\theta_i - \theta_t\right) }{ \sin\left(\theta_i + \theta_t\right) }~,
\end{equation}
\begin{equation}
r_p = +\frac{tan(\theta_i - \theta_t)}{tan(\theta_i + \theta_t)}~,
\end{equation}
\begin{equation}
t_s = -\frac{2\sin\theta_t\cos\theta_i}{ \sin\left(\theta_i + \theta_t\right) }~,
\end{equation}
\begin{equation}
t_p = +\frac{2\sin\theta_t\cos\theta_i}{ \sin\left(\theta_i + \theta_t\right) \cos\left(\theta_i - \theta_t\right) }~.
\end{equation}
2. 内反射与外反射
3. 布儒斯特角
图 2：布儒斯特角示意图
我们这里考虑常见的 $n_2>n_1$ 且 $\mu_1 = \mu_2$ 情况。由式 8 容易证明当 $\theta_i + \theta_t = \pi/2$ 时，$r_p = 0$, 反射光的平行分量消失，反射光为线偏振光。此时，入射角称为布儒斯特角（Brewster's angle），记为 $\theta_B$。代入斯涅尔公式 $n_i\sin\theta_i = n_t\sin\theta_t$ 可得
\begin{equation}
\theta_B = \arctan\left(n_2/n_1\right) ~.
\end{equation}
4. 临界角
图 3：临界角示意图
易知，$\theta_c = \arcsin\left(n_2/n_1\right) ~.$
未完成：线偏振光