Volkov 波函数

                     

贡献者： addis

预备知识 1　一维自由高斯波包（量子）

　　 本文使用原子单位制。若初始时刻 $t_0$ 一个自由粒子的三维空间波函数 $\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)$ 已知，接下来空间中出现了随时间变化的电场 $ \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} (t)$（我们采用偶极子近似，即假设电场不随位置变化，感生磁场可以忽略），那么接下来波函数会如何变化呢？

　　 要求解该问题，可以用 “一维自由粒子高斯波包” 相似的思路，先把初始波函数拆解为无数平面波，再分别把每个平面波在电场 $ \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} (t)$ 中演化到任意时间 $t$，最后重新组合成为 $\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)$。该过程中，把平面波在电场中演化到某时刻的结果就称为 Volkov 波函数。

　　 在 $t \le t_0$ 时，令 $ \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，且波函数是如下平面波

\begin{equation} \Psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} _0}( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t \le t_0) = (2\pi)^{-3/2} \exp \left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} _0 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \mathrm{i} E_0 t \right) \qquad (t \le t_0)~, \end{equation}
其中 $E_0 = \boldsymbol{\mathbf{k}} _0^2/(2m)$ 是初始动能。那么施加电场后， 波函数阿那照薛定谔方程（式 9 ）
\begin{equation} \left[-\frac{ \boldsymbol\nabla ^2}{2m} - q \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} (t) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right] \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t) = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)~ \end{equation}
演化，解得 Volkov 波函数为
\begin{equation} \Psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} _0}( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = (2\pi)^{-3/2} \exp \left[ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} (t) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \mathrm{i} \int_{t_0}^t E(t') \,\mathrm{d}{t'} - \mathrm{i} E_0 t_0 \right] \qquad (t > t_0)~. \end{equation}
其中
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{k}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{k}} _0 + q\int_{t_0}^t \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} (t') \,\mathrm{d}{t'} ~, \qquad E(t) = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{k}} ^2(t)}{2m} \end{equation}
是一个初始动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} _0$ 的经典的点电荷在同一电场下的动量和动能。可见，平面波经过电场作用后，仍然是平面波，只是波矢和相位都会发生相应的改变。

　　 一维 Volkov 函数的 Matlab 代码如下，需要提供 t 和一列 x，以及 $k(t)$ 的函数句柄 k_fun。

代码 1：volkov_1d.m
% Volkov wave function in 1D
% supports 1d vector x and t
% output psi(i,j), k(j), E(j), phi(j) for x(i), t(j)
function [psi, k, E, phi] = volkov_1d(k_fun, x, t)
Nt = numel(t);
x = x(:); t = t(:).';
k = k_fun(t);
E_fun = @(t) 0.5*k_fun(t).^2;
E = E_fun(t);
phi = zeros(1, Nt); phi(1) = E(1)*t(1);
for i = 2:Nt
    phi(i) = phi(i-1) + integral(E_fun, t(i-1), t(i));
end
psi = (2*pi)^(-1.5) .* exp(1i*k.*x - 1i*phi);
end

　　 下面是一个做简谐运动的小球对应的 Volkov 波函数的动画程序

未完成：插入动画截图，链接到动画
代码 2：volkov_test.m
% === params ===
tmin = 0; tmax = 2*pi; Nt = 201;
xmin = -15; xmax = 20; Nx = 1000;
x00 = -5;
k00 = 0; % center of wave packet
sigma_x = 1; % width of wave packet
Nk0 = 101; % # of Volkov waves
% ==============

sigma_k = 1/(2*sigma_x);
k0min = k00-4*sigma_k;
k0max = k00+4*sigma_k;

k0 = linspace(k0min, k0max, Nk0);
dk0 = (k0max-k0min) / Nk0;
coeffs = 1/(2*pi*sigma_k^2)^0.25 *...
    exp(-(k0-k00).^2./(2*sigma_k).^2) .*...
    exp(-1i*x00*(k0-k00))* dk0;

x = linspace(xmin, xmax, Nx);
t = linspace(tmin, tmax, Nt);
force = 5*cos(t);
x_ball = x00 + 5*(1-cos(t));
psi_v = zeros(Nx, Nt, Nk0);
for i0 = 1:Nk0
    k_fun = @(t) k0(i0) + 5*sin(t);
    psi_v(:,:,i0) = volkov_1d(k_fun, x, t);
end

% wave packet
psi = zeros(Nx, Nt);
for it = 1:Nt
    for ik0 = 1:Nk0
        psi(:, it) = psi(:, it) + ...
            coeffs(ik0) * psi_v(:, it, ik0);
    end
end

% plot animation
i0 = (Nk0+1)/2;
for i = 1:Nt
    % central Volkov wave
    figure(1); clf;
    subplot(2, 1, 1);
    y = psi_v(:,i,i0);
    plot(x, [real(y), imag(y)]);
    hold on;
    axis([xmin,xmax,[-1,1]*0.08]);
    grid on;
    title('central Volkov wave');

    % Wave packet
    subplot(2, 1, 2);
    y = psi(:,i);
    plot(x, [real(y), imag(y)]); hold on;
    plot(x, abs(y), 'k');
    axis([xmin,xmax,-0.11,0.15]);
    grid on;
    title('Wave packet');

    % electric field
    plot([0, force(i)], [1,1]*0.13, 'LineWidth', 3);
    % classical ball
    scatter(x_ball(i), 0.11, 'k');

    saveas(gcf, [sprintf('%03d', i) '.png']);
end

　　

未完成：不要引用式 9 ，预备知识太多，需要一个信仰版

速度规范和加速度规范

预备知识 2　速度规范，加速度规范

　　 注意以下所有规范中，算符 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla $ 都是广义动量。

　　 注意本文中的 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} (t)$ 都是指速度规范中的矢势，长度规范下的矢势恒为零（式 5 ），广义动量就是 $m \boldsymbol{\mathbf{v}} $（式 6 ）。

　　 ========== 回收 ==============

　　 （不同规范仅当电场出现后才会不同）

　　 以下我们分别在长度规范、速度规范、加速度规范中求解 Volkov 波函数。在 $t \le t_0$ 时，令 $ \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{A}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{0}} $。令三种规范下

1. 加速度规范

　　 求解 Volkov 波函数最容易的方法就是使用所谓加速度规范，由于空间中没有净电荷，薛定谔方程（式 7 ）中 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = 0$

\begin{equation} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m}\Psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} _0}^A = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} _0}^A~. \end{equation}
显然式 1 就是该方程在 $t > t_0$ 的解
\begin{equation} \Psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} _0}^A( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = (2\pi)^{-3/2} \exp \left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} _0 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \mathrm{i} E_0 t \right) ~. \end{equation}
可见在 K-H 参考系中，波函数始终保持平面波的形式。

例 1　高斯波包与电磁场

　　 在 K-H 参考系中，若使用偶极子近似且令势能函数 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = 0$，我们会发现高斯始终是高斯波包。电磁波消失以后，K-H 系变为原来的惯性系，这是因为电场不能含有直流分量。（未完成：讲详细点？）

2. 速度规范

　　 使用式 3 对式 6 做规范变换，得速度规范下的 Volkov 波函数为

\begin{equation} \Psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} _0}^V( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = (2\pi)^{-3/2} \exp \left\{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} _0 \boldsymbol\cdot [ \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} (t)] - \mathrm{i} E_0 t \right\} ~, \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} (t)$ 对应的是一个经典点电荷在电场中的位移（式 2 ）
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} (t) = -\frac{q}{m} \int_{t_0}^t \boldsymbol{\mathbf{A}} (t') \,\mathrm{d}{t'} ~. \end{equation}
该波函数空间频率不发生改变而只是以经典粒子的方式进行平移。这是因为速度规范中，由外电场产生的粒子速度变化不会体现在波函数中。

　　 容易验证式 7 是速度规范薛定谔方程（见式 8 ）的解

\begin{equation} \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi^V = \left[\frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} - \frac{q}{m} \boldsymbol{\mathbf{A}} (t) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} \right] \Psi^V~. \end{equation}
注意 $E_0$ 只是初始时间的动能 $E(t_0)$，电场中的粒子能量不守恒。任意时刻，波函数都是 $m \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)$ 和动能 $E(t)$ 的本征矢，本征值和经典粒子的动量动能相同。
\begin{equation} m \boldsymbol{\mathbf{v}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{k}} _0 - q \boldsymbol{\mathbf{A}} (t)~, \end{equation}
\begin{equation} E(t) = \frac{ \left[ \boldsymbol{\mathbf{k}} _0 - q \boldsymbol{\mathbf{A}} (t) \right] ^2}{2m}~. \end{equation}
初始时刻有 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} (0) = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，$m \boldsymbol{\mathbf{v}} (t_0) = \boldsymbol{\mathbf{k}} _0$。

3. 长度规范

　　 要求长度规范长度规范下的 Volkov 波函数只需要对式 7 再次做规范变换即可（式 9 ），得式 3 。1

1. ^ 如果不在乎波函数的全局相位，可以把式 3 方括号最后的常数项去掉。

                     

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