贡献者： addis
1本文使用原子单位制。和长度规范中的思路一样，我们只在使用偶极子近似时讨论速度规范（velocity gauge）。用角标 $V$ 表示速度规范，先从规范不变的哈密顿算符（式 1 ）出发
\begin{equation}
H = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} - \frac{q}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} + \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} )
+ \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2 + q \varphi + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~,
\end{equation}
由于偶极子近似下 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 与位置无关，$ \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} $。长度规范的思路是把上式中的 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2$ 消去。对库仑规范使用规范变换（
式 5 ）
\begin{equation}
\Psi_C( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \exp\left( \mathrm{i} q\chi_V\right) \Psi_V( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\chi_V(t) = -\frac{q}{2m} \int_{-\infty}^t \boldsymbol{\mathbf{A}} _C^2(t') \,\mathrm{d}{t'} ~,
\end{equation}
得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} _V = \boldsymbol{\mathbf{A}} _C - \boldsymbol\nabla \chi_V = \boldsymbol{\mathbf{A}} _C~.
\end{equation}
可见
速度规范下的矢势和库仑规范的相同，以下统一记为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $。这使得广义动量（
式 2 ）也和库仑规范的相同，
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{p}} _V = \boldsymbol{\mathbf{p}} _C = m \boldsymbol{\mathbf{v}} + q \boldsymbol{\mathbf{A}} = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla ~.
\end{equation}
再看标势的变换：
\begin{equation}
\varphi_V = \varphi_C + \frac{\partial \chi_V}{\partial t} = - \frac{q}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2~,
\end{equation}
可见于库仑规范相比，速度规范的标势 $\varphi_V$ 与位置无关，只随时间变化。
式 4 和式 6 带入式 1 可以消去 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2$ 项得
\begin{equation}
H_V = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} - \frac{q}{m} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
薛定谔方程为
\begin{equation}
H_V \Psi_V = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi_V~.
\end{equation}
对比式 2 和式 3 得长度规范与速度规范中的波函数转换关系为
\begin{equation}
\Psi_V = \exp\left[ \mathrm{i} q(\chi_L - \chi_V)\right] \Psi_L = \exp\left[ \mathrm{i} q \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} + \mathrm{i} \frac{q^2}{2m}\int_{-\infty}^t \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2 \,\mathrm{d}{t'} \right] \Psi_L~.
\end{equation}
速度规范在数值解薛定谔方程时有一定的优势，若带电粒子的波包在外电场中加速，其动量增量和 $-q \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 增量成正比，会产生 $ \exp\left(- \mathrm{i} q \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) $ 相位因子，而式 9 恰好可以将其抵消，使波包的空间频率减小，便于用较少的空间格点表示波函数。
1. ^ 本文参考 [1]。
[1] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed