贡献者： JierPeter; addis
薛定谔方程通常使用的是动量表象和薛定谔绘景，在海森堡绘景中，波函数（态矢）不随时间改变，而测量量的算符随时间改变。海森堡绘景相当于在薛定谔绘景的基础上做了一个基底变换，类似于位置和动量表象的关系。
作为一个物理理论，量子力学关心的是可观测量，包括本征值、概率、期望等，因此我们关心的不是量子态本身如何，而是量子态在可观测量的本征矢下展开的系数。随着时间流逝，这些系数会变化，而薛定谔绘景和海森堡绘景就是两种不同的解释系数变化的方法。
薛定谔绘景认为，可观测量不变，但是态矢量会随着时间变化，导致展开系数变化；海森堡绘景则认为，态矢量不变，但可观测量会变化，造成其本征矢量变化，从而导致态矢量的展开系数变化1。
这和线性代数里情况一模一样。一个矩阵可以解释为线性变换，它把一个向量变为另一个向量，导致这个向量的坐标变化了；也可以解释为转移矩阵，向量本身没变，但是基变了，同样导致坐标变化。
你可以用这样一副图像来抽象地理解两个绘景的关系：薛定谔绘景中，坐标系不变，但向量在顺时针旋转；海森堡绘景中，向量不变，但坐标系在以相同的角速度逆时针旋转。这副图像已经能说明为什么海森堡绘景可以看作是基向量反向演化。
本文中，角标 $H$ 代表海森堡绘景，角标 $S$ 代表薛定谔绘景。例如波函数分别记为 $\psi_H( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 和 $\psi_S( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$，后者不是时间的函数，它的定义是
\begin{equation}
\psi_H( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \psi_S( \boldsymbol{\mathbf{r}} , 0)~.
\end{equation}
同时，本文使用 $\hbar=1$ 的单位制，时间演化算符按定义为 $\mathcal{U}(t)= \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t}$。
1. 薛定谔绘景
薛定谔绘景，简而言之，是固定算符不变，研究态矢量的演化。这也是我们在量子力学的基本原理（量子力学）中使用的描述。
在薛定谔绘景中，算符是恒定的，从而其对应的本征矢量也是恒定的。实际的量子态 $ \left\lvert s \right\rangle $ 则随着时间 $t$ 演化为 $\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle $。这个过程可以理解为，映射 $\mathcal{U}(t)$ 作用在矢量 $ \left\lvert s \right\rangle $ 上，导致 $ \left\lvert s \right\rangle $ 变化，于是其关于各可观测量的本征态的基底展开系数变化——这些系数的模方就是测量后得到对应本征态的概率（概率密度），因此我们观测到的概率就会变化。
薛定谔绘景下，初态为 $ \left\lvert s \right\rangle $ 的量子态，其可观测量 $X$ 的期望值随时间演化：
\begin{equation}
\langle X \rangle(t) = \left\langle s \right\rvert \mathcal{U}^\dagger(t)X\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle ~.
\end{equation}
薛定谔方程
薛定谔绘景下，态右矢对时间的导数为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle &= \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t} \left\lvert s \right\rangle \\
&= - \mathrm{i} H \mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle ~,
\end{aligned}
\end{equation}
如果记 $ \left\lvert s, t \right\rangle =\mathcal{U}(t) \left\lvert s \right\rangle $，那
式 3 也就是
\begin{equation}
\mathrm{i} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \left\lvert s, t \right\rangle = H \left\lvert s, t \right\rangle ~,
\end{equation}
这就是
薛定谔方程。
2. 海森堡绘景
海森堡绘景是另一种描述量子力学的框架，量子态本身不变，但可观测量的算符以及对应的本征态则随时间变化，由此造成量子态的基底展开系数变化。海森堡绘景下计算得到的可观测量的演化规律和薛定谔绘景相同，即两个绘景下给定量子态在给定算符的特征基下展开系数恒等。
注意，时间演化算符 $\mathcal{U}(t)= \exp\left(- \mathrm{i} Ht\right) $ 是一个幺正算符，即 $\mathcal{U}^\dagger(t)=\mathcal{U}^{-1}(t)$。
离散情况
设 $X^{(S)}(t)$ 是薛定谔绘景下的可观测量，，$X^{(H)}(t)$ 是在海森堡绘景下的同一个观测量，$ \left\lvert a; t \right\rangle $ 是任意一组基。为了方便，特别地令 $X^{(H)}(0)=X^{(S)}(t)$。
海森堡绘景要求，态右矢 $ \left\lvert s \right\rangle $ 不变，是算符的改变导致 $ \left\lvert s \right\rangle $ 在给定算符的特征基下系数变化。虽然薛定谔绘景下算子可能随时间变化，导致基也变化，但是态矢量同时也变化，记 $t$ 时刻薛定谔绘景下 $ \left\lvert s \right\rangle $ 变为 $ \left\lvert s(t) \right\rangle $，其中 $ \left\lvert s(0) \right\rangle = \left\lvert s \right\rangle $，于是 $ \left\lvert s(t) \right\rangle = \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t} \left\lvert s \right\rangle $。
设 $X^{(H)}(t)$ 的特征基为 $\{ \left\lvert a_i;t \right\rangle \}$，$X^{(S)}(t)$ 的特征基为 $\{ \left\lvert b_i; t \right\rangle \}$，其中各 $ \left\lvert a_i; t \right\rangle $ 和 $ \left\lvert b_i; t \right\rangle $ 关于 $t$ 连续，且 $ \left\lvert a_i; 0 \right\rangle = \left\lvert b_i; 0 \right\rangle $。
则展开系数恒等意味着
\begin{equation}
\left\langle a_i; t \middle| s \right\rangle = \left\langle b_i; t \middle| s(t) \right\rangle = \left\langle b_i; t \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t} \left\lvert s \right\rangle ~.
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\left\lvert a_i; t \right\rangle = \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H t} \left\lvert b_i; t \right\rangle ~,
\end{equation}
即海森堡绘景下基的演化，与薛定谔绘景下态矢量的演化是反向的。这直观上很好理解和记忆：考虑一个二维实线性空间，如果说薛定谔绘景下态矢量逆时针旋转、坐标系不变，那么海森堡绘景下就应该是态矢量不变、坐标系顺时针旋转。
考虑到 $X^{(H)}(t)$ 和 $X^{(S)}(t)$ 的本征值一一对应且对应相等，故可设 $ \left\lvert a_i; t \right\rangle $ 关于 $X^{(H)}(t)$ 和 $ \left\lvert b_i; t \right\rangle $ 关于 $X^{(S)}(t)$ 的本征值都是 $\lambda_i$。用基向量展开算子即得测量算符随时间的演化为
\begin{equation}
\begin{aligned}
X^{(H)}(t) = \sum_i \lambda_i \left\lvert a_i; t \right\rangle \left\langle a_i; t \right\rvert ={}& \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H t} \left(\sum_i \lambda_i \left\lvert b_i; t \right\rangle \left\langle b_i; t \right\rvert \right) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t}\\
={}& \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H t}X^{(S)}(t) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t}~.
\end{aligned}
\end{equation}
连续情况
连续情况的讨论和离散情况完全相同，只是要求指标 $a$ 的取值范围为指定范围的实数，并将 $\sum_a$ 都替换为 $\int \,\mathrm{d}{a} $。式 7 和式 6 依然成立。
海森堡方程
同式 4 的导出思路相同，我们可以推导海森堡绘景下算符2的运动方程：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \mathcal{U}(t)^\dagger X \mathcal{U}(t) &= \mathcal{U}'(t)^\dagger X \mathcal{U}(t)+\mathcal{U}(t)^\dagger X \mathcal{U}'(x)\\
&= \mathrm{i} H \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H t}X \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t}- \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H t}X \mathrm{i} H \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t}\\
&= \mathrm{i} [H, \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H t}X \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t}]~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $[*, *]$ 是李括号。
记 $\mathcal{U}(t)^\dagger X \mathcal{U}(t)=X(t)$，整理一下式 8 ，就得到海森堡方程：
\begin{equation}
\mathrm{i} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }X(t) = [X(t), H]~.
\end{equation}
利用算符对易性（量子力学），可算出
\begin{equation}
[ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2] = 2 \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{p}} ~
\end{equation}
和
\begin{equation}
[ \boldsymbol{\mathbf{p}} , V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )] = - \mathrm{i} \nabla V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )~.
\end{equation}
注意
式 11 右边的 $\nabla$ 已经作用在 $V$ 上了，整体是一个函数而非微分算子。
将式 10 和式 11 代入式 9 ，令 $H=\frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m}+V(x)$，则有
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{x}} &= \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }{m}\\
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{p}} &= -\nabla V(x)
\end{aligned}\right. ~,
\end{equation}
式 12 就是常用的海森堡运动方程，在狄拉克的The Principles of Quantum Mechanics中写为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } q_r &= \frac{\partial H}{\partial p_r}\\
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } p_r &= -\frac{\partial H}{\partial q_r}
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
其中 $q_r$ 是广义坐标，$p_r$ 是对应的共轭动量。
1. ^ 严格来说，薛定谔绘景中也有可观测量会变化的情况，比如磁场在变化，那么哈密顿量 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 就可能变化。所以这里说的是薛定谔绘景中不随时间变化的算符，到了海森堡绘景就会随时间变化。如果一个算符在薛定谔绘景中随时间变化，那么到了海森堡绘景只需要再叠加一个基底变换即可，正如本文开头所说，细节则请参见下面的小节。
2. ^ 这里的算符 $X$ 在薛定谔绘景下不随时间变化，且注意 $X$ 不一定和 $H$ 对易。