贡献者： addis
预备知识 速度规范
，平移算符
，非惯性参考系、惯性力
1本文使用原子单位制。首先注意加速度规范（acceleration gauge）并不是一种规范而只是薛定谔方程的一种广义变换，说它是规范只是习惯上的叫法。该变换也叫做 Kramers-Henneberger 变换 或 K-H 变换。
在速度规范下，电场和矢势满足和库仑规范和速度规范同样的关系（式 7 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mathcal{E}}} (t) = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} ~.
\end{equation}
注意速度规范默认
偶极子近似，即空间中电场和矢势都与位置无关。一个电荷为 $q$ 的粒子在电磁波到来之前处于静止，那么接下来它在电磁波作用下的位移为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\alpha}} (t) = -\frac{q}{m}\int_{-\infty}^t \boldsymbol{\mathbf{A}} (t') \,\mathrm{d}{t'} ~.
\end{equation}
和速度规范之间的波函数变换是一个位移为 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} $ 的平移，$ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} $ 是一个自由带电粒子在外电场中产生的位移
\begin{equation}
\Psi_V( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \Psi_A( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} , t)~.
\end{equation}
也可以用
平移算符记为
\begin{equation}
\Psi_V( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} } \Psi_A( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)~.
\end{equation}
这相当于一个参考系变换，我们把 $\Psi_A$ 所在的参考系叫做
K-H 参考系（K-H frame），是一个
非惯性系。注意严格来说
式 4 要求波函数在整个空间无穷阶可导，而
式 3 却不用，但习惯上我们只是把平移算符看成平移的一种记号，并不要求波函数无穷阶可导。
为什么说 K-H 变换不是一个规范变换？因为如果我们如果试图找到式 9 中的 $\chi$，会发现 $\chi = - \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} /q$，而这是一个微分算符，不是位置和时间的函数。
可以证明 K-H 系中，哈密顿量变为
\begin{equation}
H_A = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} + V[ \boldsymbol{\mathbf{r}} + \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} (t)]~,
\end{equation}
其中 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是不含时的势能函数（例如原子核对电子的库仑势能）。我们可以把加速度规范想象成在 K-H 非惯性系中使用速度规范，仍有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} + q \boldsymbol{\mathbf{A}} = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla ~,
\end{equation}
但这里的 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是相对于 K-H 系的。
注意这里不存在表示电场力的项，我们可以理解为 K-H 参考系中的惯性力与电场力抵消了。
对应的薛定谔方程仍然是
\begin{equation}
H_A \Psi_A = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi_A~.
\end{equation}
加速度规范的一个简单应用见 Volkov 波函数。
1. ^ 本文参考 [1]。
[1] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed