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如图 1 ,若一个一元函数 $y = f(x)$ 在某区间内处处可导(即对区间内的任何 $x$ 导数 $f'(x)$ 都存在),若区间内存在某些 $x_i$ 能使 $f'(x_i) = 0$(即在这些点处函数曲线的斜率为零),这样的点被称为驻点。
而从函数曲线来看,驻点又分为三类:极大值,极小值,鞍点。我们以 $x_i$ 为中心取一个小区间,如果这个区间足够小,那么容易看出对于极大值点,$f'(x)$ 在小区间内递减;对于鞍点,$f'(x)$ 在小区间内恒为非负或恒为非正;对于极小值点,$f'(x)$ 在小区间内递增。所以为了判断驻点的类型,我们可以在驻点处求函数的二阶导数 $f''(x_i)$。假设二阶偏导存在,如果 $f''(x_i) < 0$,那么 $x_i$ 是极大值点,如果 $f''(x_i) > 0$,$x_i$ 是极小值点。要注意的是,如果 $f''(x_i) = 0$,不能直接判断 $x_i$ 鞍点,需要进一步分析:例如我们可以判断驻点左边和右边的一阶导数符号,如果同号则是驻点,左正右负则是极大值,左负右正则是极小值。
另外,若某个极小值点是整个考察区间中函数值最小的点,它就被称为最小值点,若某个极大值点是该区间中函数值最大的点,它就被称为最大值点。1
1. ^ 在现代数学中我们不再区分这两个名字(极值和最值),而是使用局部最值(对应级值)和全局最值(对应最值)