导数与函数极值（简明微积分）

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预备知识　二阶导数

图 1：导数为零的三种点

　　如图 1 ，若一个一元函数 $y = f (x)$ 在某区间内处处可导（即对区间内的任何 $x$ 导数 $f^{'} (x)$ 都存在），若区间内存在某些 $x_{i}$ 能使 $f^{'} (x_{i}) = 0$ （即在这些点处函数曲线的斜率为零），这样的点被称为驻点。

　　而从函数曲线来看，驻点又分为三类：极大值，极小值，鞍点。我们以 $x_{i}$ 为中心取一个小区间，如果这个区间足够小，那么容易看出对于极大值点， $f^{'} (x)$ 在小区间内递减；对于鞍点， $f^{'} (x)$ 在小区间内恒为非负或恒为非正；对于极小值点， $f^{'} (x)$ 在小区间内递增。所以为了判断驻点的类型，我们可以在驻点处求函数的二阶导数 $f^{″} (x_{i})$ 。假设二阶偏导存在，如果 $f^{″} (x_{i}) < 0$ ，那么 $x_{i}$ 是极大值点，如果 $f^{″} (x_{i}) > 0$ ， $x_{i}$ 是极小值点。要注意的是，如果 $f^{″} (x_{i}) = 0$ ，不能直接判断 $x_{i}$ 鞍点，需要进一步分析：例如我们可以判断驻点左边和右边的一阶导数符号，如果同号则是驻点，左正右负则是极大值，左负右正则是极小值。

　　另外，若某个极小值点是整个考察区间中函数值最小的点，它就被称为最小值点，若某个极大值点是该区间中函数值最大的点，它就被称为最大值点。¹

例 1　

　　二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 的导函数为 $f^{'} (x) = 2 a x + b$ ，所以唯一的驻点为 $- b / (2 a)$ 。函数的二阶导数是一个常数 $f^{″} (x) = 2 a$ ，所以当 $a > 0$ 时驻点是唯一的极小值点，即最小值点。同理，当 $a < 0$ 时驻点是最大值点。

图 2：例 2 函数图

例 2　

　　函数 $f (x) = x + a / x (a > 0)$ 的一阶导函数为 $f^{'} (x) = 1 - a / x^{2}$ ，若我们只考察区间 $(0, + \infty)$ ，唯一的驻点为 $x = \sqrt{a}$ 。函数的二阶导函数 $f^{″} (x) = 2 a / x^{3}$ 在驻点处的值为 $2 / \sqrt{a} > 0$ ，所以该驻点为当前区间的最小值点（图 2 ）。

例 3　

　　函数 $f (x) = x^{3}$ 的一阶导函数为 $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ ，唯一的驻点为 $x = 0$ 。函数的二阶导函数 $f^{″} (x) = 6 x$ 在驻点处的值为 $0$ 。由于 $f^{'} (x)$ 在原点左侧和右侧都大于 0，所以这是一个鞍点。

1. ^ 在现代数学中我们不再区分这两个名字（极值和最值），而是使用局部最值（对应级值）和全局最值（对应最值）