幂级数（极简微积分）
贡献者： addis; Giacomo
我们把形如
\begin{equation}
f(x) = c_0 + c_1 (x - x_0)^1 + \dots = \sum_{n=0}^\infty c_n (x-x_0)^n~.
\end{equation}
的函数叫做
幂级数（power series）。其中 $(x - x_0)^0$ 始终视为 $1$，即使取 $x = x_0$。
幂级数是无穷级数的一种，是一个极限。如果我们把前有限项的求和记为
\begin{equation}
f_m(x) = \sum_{n=0}^m c_n (x-x_0)^n~.
\end{equation}
那么幂级数
式 1 就是极限
\begin{equation}
f(x) = \lim_{m\to\infty} f_m(x)~.
\end{equation}
的简写。对给定的 $x$，当极限存在时，我们就说级数
收敛（converge），反之就说级数
不收敛或
发散（diverge）。幂级数可以定义在复数域上，即 $c_n, x, x_0$ 都可以取
复数值。
1. 收敛半径
一种极端的情况是幂级数式 1 只在 $x = x_0$ 一点处收敛。除此之外，必定存在一个收敛半径（radius of convergence） $0 \leq r \leq +\infty$，使得当 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert < r$ 时幂级数总是收敛，当 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert > r$ 时幂级数总是发散（不收敛），当 $ \left\lvert x - x_0 \right\rvert = r$ 时幂级数可能收敛也可能不收敛；当 $r = 0$ 时，幂级数只在 $x_0$ 处收敛，当 $r = + \infty$ 时，幂级数在整个 $\mathbb{R}$（或者 $\mathbb{C}$）上收敛。当 $x$ 是复数时，复平面上收敛的区域就是以 $x_0$ 为圆心的一个圆盘。
计算收敛半径的一种简单方法是使用比值判别法
\begin{equation}
r = \lim_{n \to \infty} \left\lvert \frac{c_n}{c_{n+1}} \right\rvert ~.
\end{equation}
但前提是该极限存在，普适的方法见
柯西—阿达玛公式。
2. 例子
例 1
- $f(x) = e^x = \sum {1 \over n!} x^n$，收敛半径为正无穷，它定义在整个复平面上；
- $f(x) = {1 \over 1 - x} = \sum x^n$，收敛半径为 $1$；
- $f(x) = \sum n^n x^n$，收敛半径为 $0$；