幂级数（极简微积分）

贡献者： addis; Giacomo

预备知识　级数（简明微积分）

　　我们把形如

\begin{matrix} (1) & f (x) = c_{0} + c_{1} (x - x_{0})^{1} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - x_{0})^{n} . \end{matrix}

的函数叫做幂级数（power series）。其中

(x - x_{0})^{0}

始终视为

1

，即使取

x = x_{0}

。

　　幂级数是无穷级数的一种，是一个极限。如果我们把前有限项的求和记为

\begin{matrix} (2) & f_{m} (x) = \sum_{n = 0}^{m} c_{n} (x - x_{0})^{n} . \end{matrix}

那么幂级数式 1 就是极限

\begin{matrix} (3) & f (x) = lim_{m \to \infty} f_{m} (x) . \end{matrix}

的简写。对给定的

x

，当极限存在时，我们就说级数收敛（converge），反之就说级数不收敛或发散（diverge）。幂级数可以定义在复数域上，即

c_{n}, x, x_{0}

都可以取复数值。

1. 收敛半径

　　一种极端的情况是幂级数式 1 只在 $x = x_{0}$ 一点处收敛。除此之外，必定存在一个收敛半径（radius of convergence） $0 \leq r \leq + \infty$ ，使得当 $| x - x_{0} | < r$ 时幂级数总是收敛，当 $| x - x_{0} | > r$ 时幂级数总是发散（不收敛），当 $| x - x_{0} | = r$ 时幂级数可能收敛也可能不收敛；当 $r = 0$ 时，幂级数只在 $x_{0}$ 处收敛，当 $r = + \infty$ 时，幂级数在整个 $R$ （或者 $C$ ）上收敛。当 $x$ 是复数时，复平面上收敛的区域就是以 $x_{0}$ 为圆心的一个圆盘。

　　计算收敛半径的一种简单方法是使用比值判别法

\begin{matrix} (4) & r = lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n}}{c_{n + 1}} | . \end{matrix}

但前提是该极限存在，普适的方法见柯西—阿达玛公式。

2. 例子

例 1　

$f (x) = e^{x} = \sum \frac{1}{n!} x^{n}$ ，收敛半径为正无穷，它定义在整个复平面上；
$f (x) = \frac{1}{1 - x} = \sum x^{n}$ ，收敛半径为 $1$ ；
$f (x) = \sum n^{n} x^{n}$ ，收敛半径为 $0$ ；