分部积分法

                     

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预备知识 牛顿—莱布尼兹公式

   若积分中的被积函数可以表示为两个函数的乘积,则我们可以使用分部积分公式,f(x)g(x) 分别为 F(x)G(x) 的导函数,有

(1)F(x)g(x)dx=F(x)G(x)f(x)G(x)dx .
(2)abF(x)g(x)dx=F(x)G(x)|ababf(x)G(x)dx .
f(n)(x) 表示 n 阶导数, f[n](x) 表示 n 次不定积分1,连续使用 n 次分部积分公式,有
(3)f(x)g(x)dx=f(x)g[1](x)f(1)(x)g[2](x)++(1)n1f(n1)(x)g[n](x)+(1)nf(n)(x)g[n](x)dx .

1. 推导

   令 f(x)=F(x)g(x)=G(x),根据乘法的求导公式

(4)[F(x)G(x)]=f(x)G(x)+F(x)g(x) .
(5)F(x)g(x)=[F(x)G(x)]f(x)G(x) .
两边不定积分(积分常数可任取)得
(6)F(x)g(x)dx=F(x)G(x)f(x)G(x)dx .
所以如果被积函数等于两个函数的乘积,则可选择其中一个(F)为 “求导项” 进行求导,另一个(g)为 “积分项” 进行不定积分(积分常数可任取),然后代入该式即可。

   若要计算定积分,既可以先计算不定积分然后使用牛顿—莱布尼兹公式,也可以直接对式 5 进行定积分得

(7)abF(x)g(x)dx=[F(x)G(x)]ababf(x)G(x)dx .

例 1 求 xex 的不定积分和从 0+ 的定积分

   令 x 项为 “求导项”,导数为 1,ex 为 “积分项”,积分为 ex。代入式 6

(8)xexdx=x(ex)1×(ex)dx=xexex+C .
如果直接计算定积分,把 “求导项” 和 “积分项” 直接代入式 7
(9)0+xexdx=x(ex)|0+0+1×(ex)dx=0ex|0+=1 .

2. 多次分部积分

   由于 f(x)n 次导数可以记为 f(n)(x),不妨把 g(x)n 次不定积分(n 个积分常数任取)记为 g[n](x)。则分部积分式 6 可记为

(10)f(x)g(x)dx=f(x)g[1](x)f(1)(x)g[1](x)dx .
再对第二项利用分部积分,仍然将 f(1) 作为 “求导项”,g[1] 作为 “积分项”,得
(11)f(x)g(x)dx=f(x)g[1](x)f(1)(x)g[2](x)+f(2)(x)g[2](x)dx .
再把 f(2) 作为 “求导项”,g[2] 作为 “积分项”,分布积分得
(12)f(x)g(x)dx=f(x)g[1](x)f(1)(x)g[2](x)+f(2)(x)g[3](x)f(3)(x)g[3](x)dx .
可以发现若要使用 N 次分部积分,第 iN 项等于第 i1 项中的 “求导项” 求导,“积分项” 积分,再取相反数,最后不定积分中只需把 “求导项” 额外求一次导即可。


1. ^ 这是笔者自己发明的符号

                     

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