分部积分法
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若积分中的被积函数可以表示为两个函数的乘积,则我们可以使用分部积分公式, 和 分别为 和 的导函数,有
用 表示 阶导数, 表示 次不定积分
1,连续使用 次分部积分公式,有
1. 推导
令 , ,根据乘法的求导公式
即
两边不定积分(积分常数可任取)得
所以如果被积函数等于两个函数的乘积,则可选择其中一个()为 “求导项” 进行求导,另一个()为 “积分项” 进行不定积分(积分常数可任取),然后代入该式即可。
若要计算定积分,既可以先计算不定积分然后使用牛顿—莱布尼兹公式,也可以直接对式 5 进行定积分得
例 1 求 的不定积分和从 到 的定积分
令 项为 “求导项”,导数为 1, 为 “积分项”,积分为 。代入式 6 得
如果直接计算定积分,把 “求导项” 和 “积分项” 直接代入
式 7 得
2. 多次分部积分
由于 的 次导数可以记为 ,不妨把 的 次不定积分( 个积分常数任取)记为 。则分部积分式 6 可记为
再对第二项利用分部积分,仍然将 作为 “求导项”, 作为 “积分项”,得
再把 作为 “求导项”, 作为 “积分项”,分布积分得
可以发现若要使用 次分部积分,第 项等于第 项中的 “求导项” 求导,“积分项” 积分,再取相反数,最后不定积分中只需把 “求导项” 额外求一次导即可。
1. ^ 这是笔者自己发明的符号