分部积分法

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预备知识　牛顿—莱布尼兹公式

　　若积分中的被积函数可以表示为两个函数的乘积，则我们可以使用分部积分公式， $f (x)$ 和 $g (x)$ 分别为 $F (x)$ 和 $G (x)$ 的导函数，有

\begin{matrix} (1) & \int F (x) g (x) d x = F (x) G (x) - \int f (x) G (x) d x . \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & \int_{a}^{b} F (x) g (x) d x = {F (x) G (x) |}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f (x) G (x) d x . \end{matrix}

用

f^{(n)} (x)

表示

n

阶导数，

f^{[n]} (x)

表示

n

次不定积分¹，连续使用

n

次分部积分公式，有

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \int f (x) g (x) d x & = f (x) g^{[1]} (x) - f^{(1)} (x) g^{[2]} (x) + \dots + (- 1)^{n - 1} f^{(n - 1)} (x) g^{[n]} (x) \\ + (- 1)^{n} \int f^{(n)} (x) g^{[n]} (x) d x . \end{aligned} \end{matrix}

1. 推导

　　令 $f (x) = F^{'} (x)$ ， $g (x) = G^{'} (x)$ ，根据乘法的求导公式

\begin{matrix} (4) & [F (x) G (x)]^{'} = f (x) G (x) + F (x) g (x) . \end{matrix}

即

\begin{matrix} (5) & F (x) g (x) = [F (x) G (x)]^{'} - f (x) G (x) . \end{matrix}

两边不定积分（积分常数可任取）得

\begin{matrix} (6) & \int F (x) g (x) d x = F (x) G (x) - \int f (x) G (x) d x . \end{matrix}

所以如果被积函数等于两个函数的乘积，则可选择其中一个（

F

）为 “求导项” 进行求导，另一个（

g

）为 “积分项” 进行不定积分（积分常数可任取），然后代入该式即可。

　　若要计算定积分，既可以先计算不定积分然后使用牛顿—莱布尼兹公式，也可以直接对式 5 进行定积分得

\begin{matrix} (7) & \int_{a}^{b} F (x) g (x) d x = {[F (x) G (x)]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f (x) G (x) d x . \end{matrix}

　　令 $x$ 项为 “求导项”，导数为 1， $e^{- x}$ 为 “积分项”，积分为 $- e^{- x}$ 。代入式 6 得

\begin{matrix} (8) & \int x e^{- x} d x = x (- e^{- x}) - \int 1 \times (- e^{- x}) d x = - x e^{- x} - e^{- x} + C . \end{matrix}

如果直接计算定积分，把 “求导项” 和 “积分项” 直接代入式 7 得

\begin{matrix} (9) & \int_{0}^{+ \infty} x e^{- x} d x = {x (- e^{- x}) |}_{0}^{+ \infty} - \int_{0}^{+ \infty} 1 \times (- e^{- x}) d x = 0 - {e^{- x} |}_{0}^{+ \infty} = 1 . \end{matrix}

　　由于 $f (x)$ 的 $n$ 次导数可以记为 $f^{(n)} (x)$ ，不妨把 $g (x)$ 的 $n$ 次不定积分（ $n$ 个积分常数任取）记为 $g^{[n]} (x)$ 。则分部积分式 6 可记为

\begin{matrix} (10) & \int f (x) g (x) d x = f (x) g^{[1]} (x) - \int f^{(1)} (x) g^{[1]} (x) d x . \end{matrix}

再对第二项利用分部积分，仍然将

f^{(1)}

作为 “求导项”，

g^{[1]}

作为 “积分项”，得

\begin{matrix} (11) & \int f (x) g (x) d x = f (x) g^{[1]} (x) - f^{(1)} (x) g^{[2]} (x) + \int f^{(2)} (x) g^{[2]} (x) d x . \end{matrix}

再把

f^{(2)}

作为 “求导项”，

g^{[2]}

作为 “积分项”，分布积分得

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} \int f (x) g (x) d x & = f (x) g^{[1]} (x) - f^{(1)} (x) g^{[2]} (x) + f^{(2)} (x) g^{[3]} (x) \\ - \int f^{(3)} (x) g^{[3]} (x) d x . \end{aligned} \end{matrix}

可以发现若要使用

N

次分部积分，第

i ⩽ N

项等于第

i - 1

项中的 “求导项” 求导，“积分项” 积分，再取相反数，最后不定积分中只需把 “求导项” 额外求一次导即可。

1. ^ 这是笔者自己发明的符号