柱坐标中的亥姆霍兹方程
贡献者： addis
亥姆霍兹方程为
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 u = -k^2 u~,
\end{equation}
将柱坐标系中的拉普拉斯方程右边加上一项得到亥姆霍兹方程。
\begin{equation}
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\theta}^{2}} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{z}^{2}} = -k^2 u~.
\end{equation}
使用分离变量法，令 $u = R(r) \Phi(\theta) Z(z)$，代入方程得
\begin{equation}
\frac{1}{rR} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r \frac{\partial R}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \Phi} \frac{\partial^{2}{\Phi}}{\partial{\theta}^{2}} + \frac{1}{Z} \frac{\partial^{2}{Z}}{\partial{z}^{2}} = -k^2~.
\end{equation}
$\Theta(\theta)$ 和 $Z(z)$ 的常微分方程和解与拉普拉斯方程中的相同
\begin{equation}
\frac{1}{Z} \frac{\partial^{2}{Z}}{\partial{z}^{2}} = l^2 \qquad
\frac{1}{\Phi} \frac{\mathrm{d}^{2}{\Phi}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} = -m^2~.
\end{equation}
径向方程变为
\begin{equation}
r \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r \frac{\partial R}{\partial r} \right) + [(l^2 + k^2)r^2 - m^2]R = 0~.
\end{equation}
令 $x = \sqrt{l^2 + k^2}r$ 以及 $u(x) = R(r)$，做变量替换得
\begin{equation}
x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left(x \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \right) + (x^2 - m^2)y = 0~.
\end{equation}
与拉普拉斯方程的情况（
式 10 ）一样，我们得到了贝塞尔方程（
式 1 ）。但注意 $x, r$ 之间的缩放比例取也取决于 $k^2$。