柱坐标中的亥姆霍兹方程

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　亥姆霍兹方程，柱坐标系中的拉普拉斯方程

　　亥姆霍兹方程为

\begin{matrix} (1) & \nabla^{2} u = - k^{2} u, \end{matrix}

　　将柱坐标系中的拉普拉斯方程右边加上一项得到亥姆霍兹方程。

\begin{matrix} (2) & \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial θ^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = - k^{2} u . \end{matrix}

使用分离变量法，令

u = R (r) Φ (θ) Z (z)

，代入方程得

\begin{matrix} (3) & \frac{1}{r R} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial R}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} Φ} \frac{\partial^{2} Φ}{\partial θ^{2}} + \frac{1}{Z} \frac{\partial^{2} Z}{\partial z^{2}} = - k^{2} . \end{matrix}

Θ (θ)

和

Z (z)

的常微分方程和解与拉普拉斯方程中的相同

\begin{matrix} (4) & \frac{1}{Z} \frac{\partial^{2} Z}{\partial z^{2}} = l^{2} \frac{1}{Φ} \frac{d^{2} Φ}{d θ^{2}} = - m^{2} . \end{matrix}

径向方程变为

\begin{matrix} (5) & r \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial R}{\partial r}) + [(l^{2} + k^{2}) r^{2} - m^{2}] R = 0 . \end{matrix}

令

x = \sqrt{l^{2} + k^{2}} r

以及

u (x) = R (r)

，做变量替换得

\begin{matrix} (6) & x \frac{d}{d x} (x \frac{d y}{d x}) + (x^{2} - m^{2}) y = 0 . \end{matrix}

与拉普拉斯方程的情况（式 10 ）一样，我们得到了贝塞尔方程（式 1 ）。但注意

x, r

之间的缩放比例取也取决于

k^{2}

。

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