球坐标系

                     

贡献者： addis

1. 球坐标的定义

　　¹球坐标往往在直角坐标的基础上定义，三维直角坐标系中的一点 $P$ 的位置可以用 $(r,\theta ,\varphi )$ 这 3 个有序实数来表示，称为该点的球坐标（spherical coordinates）（图 1 ）。其中 $r$ 表示该点到原点的距离（$r⩾0$），即位矢的模长；$\theta$ 表示该点的位矢与 $z$ 轴的夹角（$\theta \in [0,\pi ]$），即极角（polar angle）；$\varphi$ 表示该点的位矢在 $x$-$y$ 平面上的投影与 $x$ 轴的夹角（$\varphi \in [0,2\pi )$ 或 $(-\pi ,\pi ]$），即方位角（azimuthal angle）。

　　 以上定义的球坐标系符合 ISO 标准，小时百科统一使用该定义。一些其他文献或软件²中时常把 $\theta$ 取补角，即和 $x$-$y$ 平面的夹角。另一些教材中也可能用 $\theta$ 表示方位角，$\varphi$ 表示极角，或者将 $\varphi$ 记为 $\phi$， $r$ 记为 $\rho$ 等，需要通过上下文判断每个坐标符号的具体含义。

2. 球坐标系中的单位矢量

　　 三个球坐标分别有对应的单位矢量 $\hat{\mathbf{r}},\hat{\mathit{\theta }},\hat{\mathit{\varphi }}$（如图 1 ）。定义它们的方向分别指向对应坐标增加的方向，例如 $r$ 增加时，点 $P(r,\theta ,\varphi )$ 就向 $\hat{\mathbf{r}}$ 的方向移动，$\theta$ 增加时 $P(r,\theta ,\varphi )$ 就向 $\hat{\mathit{\theta }}$ 方向移动。三个单位矢量两两垂直，形成一组正交归一基底，任意三维矢量都可以表示成它们的线性组合（式 4 ）

注意根据图 1 对三个单位矢量的定义，当 $P$ 取不同位置时，三个单位矢量一般也会改变方向。所以与直角坐标系的一个显著不同是，球坐标的三个单位矢量是关于 $\theta$ 和 $\varphi$ 的函数。具体表示出来，就是 $\hat{\mathbf{r}}(\theta ,\varphi )$， $\hat{\mathit{\theta }}(\theta ,\varphi )$， $\hat{\mathit{\varphi }}(\varphi )$。 例如 $P$ 的球坐标为 $(1,\pi /2,0)$，直角坐标为 $(1,0,0)$ 时， $\hat{\mathbf{r}}=\hat{\mathbf{x}}$，$\hat{\mathit{\theta }}=-\hat{\mathbf{z}}$，$\hat{\mathit{\varphi }}=\hat{\mathbf{y}}$。 但是球坐标为 $(1,\pi /2,\pi /2)$，直角坐标为 $(0,1,0)$ 时，$\hat{\mathbf{r}}=\hat{\mathbf{y}}$，$\hat{\mathit{\theta }}=-\hat{\mathbf{z}}$，$\hat{\mathit{\varphi }}=-\hat{\mathbf{x}}$。

　　 三个坐标按照 $(r,\theta ,\varphi )$ 排序，是为了使对应的单位矢量满足叉乘关系 $\hat{\mathbf{r}}\mathbf{\times }\hat{\mathit{\theta }}=\hat{\mathit{\varphi }}$。这可以类比直角坐标系的三个单位矢量必须满足 $\hat{\mathbf{x}}\mathbf{\times }\hat{\mathbf{y}}=\hat{\mathbf{z}}$。这也是对所有正交曲线坐标系的要求，球坐标系是正交曲线坐标系 的一种。

3. 球坐标和直角坐标的转换

　　 对于球坐标为 $(r,\theta ,\varphi )$ 的任意点，球坐标和直角坐标间的转换以及单位矢量 $\hat{\mathbf{r}},\hat{\mathit{\theta }},\hat{\mathit{\varphi }}$ 与 $\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}}$ 之间的转换见详见 “球坐标与直角坐标的转换”，这里引用（式 1 和式 2 ）：

4. 球坐标系中矢量的两种表示方法

　　 球坐标系中，表示矢量的一种简单方法是直接规定矢量以原点为起点，以球坐标 $(r,\theta ,\varphi )$ 的点为终点。但这样表示的缺点是两个矢量相加（减）不能直接表示为三个分量的加，而是要经过一些繁琐的变换，例如先变换到直角坐标系中，相加后再变回球坐标中。

　　 更常见的方法，是将矢量投影到球坐标的 3 个单位矢量 $\hat{\mathbf{r}},\hat{\mathit{\theta }},\hat{\mathit{\varphi }}$ 上，用单位矢量的线性组合来表示（式 1 ）。但由于单位矢量的方向取决于坐标，要说明是关于哪个点的单位矢量。在矢量分析中，这种方法常用于表示矢量场，即每个位置对应一个矢量。

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1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 如 Matlab 的 sph2cart 和 cart2sph 函数。