贡献者： 零穹
当我们讨论柱坐标和直角坐标的转换时，通常令两个原点和 $z$ 轴重合，$\theta = 0$，$z = 0$ 为 $x$ 轴的正方向，$\theta = \pi/2$，$z = 0$ 为 $y$ 轴的正方向。这时两种坐标之间的变换关系为。
\begin{equation}
\begin{cases}
x = r\cos \theta \\
y = r\sin \theta \\
z = z
\end{cases}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
r = \sqrt{x^2+y^2} \\
\theta = \operatorname{Arctan} (y,x) \\
z = z
\end{cases}~.
\end{equation}
其中 $ \operatorname {Arctan}$ 是四象限反正切函数
，也记为 $ \operatorname {atan2}$。注意根据
式 1 ，同一个直角坐标可以对应不同的极坐标，例如将 $\theta$ 增加 $2\pi$ 的整数倍，直角坐标不变。但根据
式 2 ，我们可以找到两种坐标间的一一对应
关系。
1. 矢量变换
两组基底之间的变换关系为
\begin{equation}
\begin{cases}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = R_{11} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R_{12} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + R_{13} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\
\hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = R_{21} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R_{22} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + R_{23} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\
\hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = R_{31} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R_{32} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + R_{33} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
\end{cases}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = R_{11} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + R_{21} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + R_{31} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\
\hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = R_{12} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + R_{22} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + R_{32} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\
\hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = R_{13} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + R_{23} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + R_{33} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
\end{cases}~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 是关于角度 $\theta$ 的三维旋转矩阵
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{R}} = \begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & 0\\
-\sin\theta & \cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
若任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在直角坐标系和球坐标系中分别表示为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = v_x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + v_y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + v_z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = v_r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + v_\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + v_z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
则坐标变换关系可以用矩阵乘法表示
\begin{equation}
\begin{pmatrix}v_r \\ v_\theta \\ v_z\end{pmatrix}
= \boldsymbol{\mathbf{R}} \begin{pmatrix}v_x \\ v_y \\ v_z\end{pmatrix} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{pmatrix}v_x \\ v_y \\ v_z\end{pmatrix}
= \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \begin{pmatrix}v_r \\ v_\theta \\ v_z\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
2. 推导
空间中一点 $P$ 的位矢在 $xy$ 平面的分量为 $r$。其可以进而分解成 $x$ 分量 和 $y$ 分量 $x = r\cos \theta$， $y = r\sin \theta$，而点 $P$ 垂直分量即为 $z$，这就得到了式 1 。有了式 1 中的三条关系，就可以很容易解出式 2 中的三条关系。
现在推导变换关系式 3 。由于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 都是关于 $(r, \theta, z)$ 的函数，所以在考察一点 $(r, \theta, z)$ 时，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 的柱坐标是 $(1, \theta, 0)$， 根据式 1 变换到直角坐标为
\begin{equation}
(\cos \theta,\,\sin \theta,\,0)~.
\end{equation}
写成矢量的形式，就是
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \cos \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~.
\end{equation}
至于
式 3 的第二条式子，在同一个柱坐标 $(r,\theta ,z)$ 处，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 的柱坐标为 $(1, \theta + \pi /2, 0)$，根据
式 1 变换到直角坐标再化简就得到直角坐标和对应的矢量形式为
\begin{equation}
(-\sin \theta ,\,\cos \theta , \,0)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = -\sin \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~.
\end{equation}
对于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $，容易看出
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
将基底变换
式 3 和
式 4 分别代入
式 7 和
式 6 得坐标变换
式 9 和
式 8 ，详见 “三维旋转矩阵
”。
3. 两方向的夹角
若已知柱坐标系中两个方向分别为 $(\sqrt{1-z_1^2}, \theta_1, z_1)$ 和 $(\sqrt{1-z_2^2}, \theta_2, z_2)$，如何求它们之间的夹角 $\alpha$ 呢？我们可以先计算两个单位矢量的直角坐标，然后对它们进行内积即可得到两矢量夹角的余弦值。由式 1 ，两矢量的直角坐标分别为
\begin{equation}
(\sqrt{1-z_1^2}\cos\theta_1,\ \sqrt{1-z_1^2}\sin\theta_1,\ z_1)~,
\qquad
(\sqrt{1-z_2^2}\cos\theta_2,\ \sqrt{1-z_2^2}\sin\theta_2,\ z_2)~.
\end{equation}
利用三角恒等式（
式 5 ），得
\begin{equation} \begin{aligned}
\cos\alpha &= \sqrt{1-z_1^2}\sqrt{1-z_2^2}\cos\theta_1\cos\theta_2 + \sqrt{1-z_1^2}\sqrt{1-z_2^2}\sin\theta_1\sin\theta_2 + z_1z_2\\
&=\sqrt{(1-z_1^2)(1-z_2^2)}\cos\theta_1\cos\theta_2 + \sqrt{(1-z_1^2)(1-z_2^2)}\sin\theta_1\sin\theta_2 + z_1z_2~.
\end{aligned} \end{equation}