线性算子的谱
贡献者： 零穹
[1] 在算子理论中，谱的概念或许是最重要的概念。在提到谱的地方，我们都假定算子作用域复空间。
回顾有限维空间的情形。设 $A$ 是 $n$ 维空间 $\mathbb C^n$ 的线性算子，如果方程
\begin{equation}
Ax=\lambda x~
\end{equation}
有非零解，则数 $\lambda$ 称为算子 $A$ 的
本征值。所有本征值的总体称为算子的
谱。而其它的 $\lambda$ 值称为
正则点。即 $\lambda$ 是正则点，当且仅当算子 $(A-\lambda I)$ 可逆。此时 $(A-\lambda I)^{-1}$ 定义在整个 $\mathbb C^n$ 上，并且作为有限为空间的任意算子，它是有界的。于是，在有限维空间中有两种可能：
- 方程 $Ax=\lambda x$ 有非零解，$\lambda$ 是 $A$ 的本征值，这时算子 $(A-\lambda I)^{-1}$ 不存在；
- 存在定义在整个空间上的算子 $(A-\lambda I)^{-1}$，即 $\lambda$ 时正则点。
但是在无限维空间中，有第三种可能：3）算子 $(A-\lambda I)^{-1}$ 存在，但不是定义在整个空间上的，且可能无界。
1. 基本定义
无穷维空间里，本征值、谱和正则点的基本概念几乎是一样的。为正式起见，这里给出基本的定义。一般线性拓扑空间中第三种可能的存在将导致一些本质性区别。
定义 1 本征值，谱，正则点，预解式
设 $A$ 是任意线性拓扑空间中的线性连续算子（定义空间和象空间一样），则称 $(A-\lambda I)^{-1}$ 为算子 $A$ 的预解式。若 $A$ 的预解式 $(A-\lambda I)^{-1}$ 存在且并定义在整个空间上，则称 $\lambda$ 对 $A$ 是正则的。所有其余的值 $\lambda$ 称为 $A$ 的谱。使 $Ax=\lambda x$ 有非零矢量解的数 $\lambda$ 称为算子 $A$ 的本征值。
证明：若 $\lambda$ 是本征值，则预解式不存在，即 $\lambda$ 不对线性算子正则，因而属于谱。
证毕！
该定理引入了下面的概念。
对第一可数性空间，定理 1 表明线性连续算子 $A,I$ 有界，特别，对于完备赋范空间上的线性连续算子，由定理 2 ，预解式是有界的。此时谱中的非点谱部分对应的预解式存在，但不是定义在整个空间上的。这是无限维和有限维空间的本质区别。
定义 3 连续谱
定义在完备赋范空间上的算子的谱中非点谱部分称为连续谱。
定理 2
若 $A$ 是完备赋范空间 $E$ 中的有界线性算子，且 $ \left\lvert \lambda \right\rvert > \left\lVert A \right\rVert $，则 $\lambda$ 是正则点。
证明：
\begin{equation}
\begin{aligned}
A-\lambda I&=-\lambda(I-\frac{A}{\lambda})\\
\Downarrow\\
(A-\lambda I)^{-1}&=-\frac{1}{\lambda}(I-\frac{A}{\lambda})=-\frac{1}{\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{A^k}{\lambda^k}.\\
\end{aligned}~
\end{equation}
以上最后一式源于 $ \left\lVert \frac{A}{\lambda} \right\rVert <1$。由于 $ \left\lVert \frac{A}{\lambda} \right\rVert <1$，最后的级数是收敛、有界并定义在整个空间上的，因而 $(A-\lambda I)^{-1}$ 存在、有界且定义在整个空间上。从而 $\lambda$ 是正则点。
证毕！
[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版