巴拿赫定理

贡献者： addis; DTSIo

预备知识　巴拿赫空间

　　在巴拿赫空间的理论中，巴拿赫定理（Banach theorems）是一组关于巴拿赫空间上的有界线性算子的定理。它们都依赖于巴拿赫空间的完备性，并且在分析数学中有广泛的应用。可参考 Kôsaku Yosida: Functional analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 123, Springer-Verlag, 1980 (6th ed.).

1. 一致有界原理（共鸣定理）

定理 1　一致有界原理（共鸣定理，Uniform Boundedness Principle）

　　设 $X$ 是巴拿赫空间，$Y$ 是赋范线性空间，$\mathfrak{F}\subset\mathfrak{B}(X,Y)$ 是有界线性算子的族。如果对于任何 $x\in X$ 皆有 $\sup_{T\in\mathfrak{F}}\|Tx\|_Y<\infty$，那么实际上必有 $$ \sup_{T\in\mathfrak{F}}\|T\|_{\mathfrak{B}(X,Y)} =\sup_{T\in\mathfrak{F}}\left(\sup_{\|x\|_X\leq 1}\|Tx\|_Y\right)<\infty~. $$ 也就是说，从巴拿赫空间出发的线性算子的族，如果是逐点有界的，则一定是一致有界的。

　　这个定理的证明用到了贝尔纲定理（Baire category theorem），而这依赖于 $X$ 的完备性。如果 $X$ 不完备，则定理不成立。一个反例如下：取 $X$ 为仅有有限项非零的序列组成的空间，并赋以范数 $\|x\|=\max_{k}|x_k|$。这个空间不是完备的。定义 $T_n:X\to X$ 为 $$ T_nx=(x_1,2x_2,...,nx_n,0,...)~, $$ 则 $\|T_n\|=n$，因此族 $\{T_n\}$ 不是一致有界的，但对于任何固定的 $x\in X$，当 $n$ 充分大时，$T_nx$ 将恒等于常值，因此对于任何固定的 $x\in X$，都有 $\sup_n\|T_nx\|<\infty$。

　　该定理的一个应用是说明：连续函数的傅里叶级数不必逐点收敛。

2. 开映像原理

定理 2　开映像原理（Open Mapping Theorem）

　　设 $X,Y$ 是巴拿赫空间，$T:X\to Y$ 是连续线性算子，而且是满映射。则 $T$ 是开映射，即 $X$ 中的开集经 $T$ 变为 $Y$ 中的开集。

　　这个定理的证明也用到了贝尔纲定理（Baire category theorem），而这依赖于 $X,Y$ 的完备性。如果 $X$ 不完备，则定理不成立。实际上有很简单的反例可以作为说明：如果 $Z\subset X$ 是稠密的真子空间，那么自然的嵌入映射 $Z\to X$ 就显然不是开映射。

　　开映像原理有如下的直接推论：如果 $T$ 是巴拿赫空间 $X,Y$ 之间的连续线性算子，且值域 $\text{Ran}(T)$ 是 $Y$ 的闭子空间，则商映射 $X/\text{Ker}(T)\to \text{Ran}(T)$ 是同构。另外，开映像原理还说明：一个线性空间上的两个范数若都是完备的，则这两个范数必然等价。

3. 闭图像定理

定理 3　闭图像定理（Closed Graph Theorem）

　　设 $T:X\to Y$ 是巴拿赫空间之间的闭算子。则 $T$ 是连续的。

　　这个定理实际上可作为开映像原理的推论：如果 $\text{G}(T)\subset X\times Y$ 是闭子空间，则 $X$ 在图范数 $[|x|]_T=\|x\|_X+\|Tx\|_Y$ 下成为巴拿赫空间。但巴拿赫空间之间的映射 $I:(X,[|\cdot|]_T)\to(X,\|\cdot\|_X),\,I(x)=x$ 是连续的单满射，从而根据开映像原理它也是开映射，因此其逆映射是连续的。这表示 $T$ 是有界算子。