向量空间上的范数
贡献者： Giacomo
范数（norm）可以看作几何向量的模长在一般向量空间上的拓展。
定义 1 范数、赋范空间
设 $X$ 是实数或复数域上的向量空间。$X$ 上的范数是满足如下条件的非负函数 $ \left\lVert \cdot \right\rVert : X \to \mathbb{R}$：
- $ \left\lVert x \right\rVert \geqslant 0$（正定），
- $ \left\lVert x \right\rVert = 0$ 当且仅当 $x = 0$，
- $ \left\lVert \lambda x \right\rVert = |\lambda| \left\lVert x \right\rVert $，
- $ \left\lVert x_1+x_2 \right\rVert \leqslant \left\lVert x_1 \right\rVert + \left\lVert x_2 \right\rVert $（三角不等式）。
如果一个向量空间中定义了范数，我们就把它称为赋范向量空间（normed vector space），简称赋范空间（normed space）。
一个线性空间上可能可以定义许多个范数。两个范数是等价的如果它们导出的度量是强等价的。
例 1 有限维空间上的范数
设 $p\geq 1$。定义 $\mathbb R^N$ 或 $\mathbb C^N$ 空间（即 $N$ 维实数或复数列向量空间）的 $p$-范数为
\begin{equation}
\left\lVert x \right\rVert _p = \left(\sum_{i=1}^N \left\lvert x_i \right\rvert ^p \right) ^{1/p}~.
\end{equation}
物理中常见的是
2-范数，也叫
欧几里得范数（Euclidean norm） 即
\begin{equation}
\left\lVert x \right\rVert _2 = \sqrt{ \left\lvert x_1 \right\rvert ^2 + \left\lvert x_2 \right\rvert ^2 + \dots+|x_N|^2}~.
\end{equation}
它是由内积
$$
\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^Nx_i\bar y_i~
$$
诱导的。
在极限 $p \to \infty$ 之下，绝对值最大的 $x_i$ 对求和的贡献将远大于其他分量，所以可定义无穷范数（infinity norm）为
\begin{equation}
\left\lVert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rVert _\infty = \max \left\{ \left\lvert x_i \right\rvert \right\} ~.
\end{equation}
除此之外，有限维实或复线性空间上还可以定义许多种不同的范数。不过，有限维实或复线性空间上的任意两个范数必然彼此等价。它们都给出空间上唯一的一个自然拓扑（即使得所有线性泛函（线性函数）均连续的最疏松的拓扑）。
未完成：举例 “定义许多种不同的范数”，或者说明它们不存在