应力

贡献者： ACertainUser

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　　对于一块材料，我们很容易用截面法分析出材料某一截面上的受力情况；但是，截面法只能告诉我们整个截面的 “总内力”，却不能告诉我们截面上 “具体一点处” 的受力。事实上，在不少情况下，材料各处的受力是不一样的。

例 1　弯曲的棍

图 1：弯曲的棍

　　如图 1 所示，可以直观地看出，棍上部与下部的变形程度不同：上方区域被压缩，而下方区域被拉伸。在这种情况（以及其他许多情况）下，材料各处的应力不同，不能再笼统地说 “材料所受的应力为...”，至少得说 “材料...处的应力为...”。

1. 微元体与应力

　　为了更好地处理材料某处的受力，类似于微积分中 “划分小块体积” 的思想，我们假定材料是由无数小正方形块组成的²，每一小块被称作 “微元体 Element”。这样，材料每一点处的受力就转换为相应处一个微元体的受力。

图 2：三维微元体。仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials

应力

　　为了更好地刻画微元体受力的 “局域性”，类似于密度 $\rho= \frac{\mathrm{d}{m}}{\mathrm{d}{V}} , \,\mathrm{d}{m} = \rho \,\mathrm{d}{V} $ 等概念，我们引入应力的概念。

定义 1　正应力、切应力、体力

　　微元体所受的力可以分为两类，一类作用在微元体的表面上，另一类作用在微元体的体积内。作用在表面上的力源于作用在宏观物体表面的力（感觉有点像废话！），例如杆件之间互相支持而产生的拉、压力等；而作用在体积上的力源于作用在宏观物体内部的力，例如杆件的重力等。

　　在微元体的一个面上，定义垂直于表面的 “力” 为正应力 $\sigma$、平行于表面的 “力” 为切应力 $\tau$。³

　　正应力：$$\sigma_{ii} = \frac{\mathrm{d}{F_{ii}}}{\mathrm{d}{A}} , \,\mathrm{d}{F} _{ii} = \sigma_{ii} \,\mathrm{d}{A} ~.$$

　　切应力：$$\tau_{ij}= \frac{\mathrm{d}{F_{ij}}}{\mathrm{d}{A}} , \,\mathrm{d}{F} _{ij} = \tau_{ij} \,\mathrm{d}{A} ~.$$

　　在微元体的体内，定义体力：$f_i = \frac{\mathrm{d}{F_i}}{\mathrm{d}{V}} $

　　 $ \,\mathrm{d}{F} _{ij}$ 表示微元体这个面上 “分担” 的内力，$ \,\mathrm{d}{A} $ 表示这个微元体这个面的表面积，$ \,\mathrm{d}{V} $ 表示微元体的体积。类似于微积分的思想，当微元体足够小时，微元体表面上不同处的受力大小也趋于一致。

　　 i 表示这个力的作用面的法方向，j 表示这个力的方向⁴。

三维情况

　　如图 2 ，微元体的每一个面上可以受 $3$ 个力，包括一个垂直于表面的力与两个平行于表面的力。看起来，一个微元体的表面上共有 $3\times6=18$ 个力；但考虑到微元体处于静力平衡（子节 6 ），事实上一个微元体上只有 6 个相互独立的力。具体的论证过程比较繁琐，按惯例留给读者作为练习。

未完成：补充证明

　　一个微元体的受力情况可以记为一个三阶矩阵（也称应力张量）。应力张量完整地描述了一点处物体的应力。

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \\ \end{bmatrix}~. \end{equation}

　　这个矩阵是对称的，即 $\tau_{xy} = \tau_{yx}, \tau_{xz}=\tau_{zx}, \tau_{yz}=\tau_{zy}$。六个独立的力可以分别选取 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy},\sigma_{zz}, \tau_{xy}, \tau_{xz}, \tau_{yz}$。

二维情况

图 3：二维微元体.仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials

　　二维情况下的微元体更为简单。每一个面上只受一个正应力与一个切应力，共受 $2\times4=8$ 个力，但只有 $3$ 个相互独立的力。此时受力情况可以记为一个二阶矩阵，这个矩阵也是对称的：

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy}\\ \tau_{yx} & \sigma_{yy}\\ \end{bmatrix}~. \end{equation}

这三个力可以分别选取 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \tau_{xy}$。

2. 应力平衡方程

图 4：$x$ 方向上的力

　　对一个微元体运用力平衡定律，可以得到一些有趣的结论。在 $x$ 方向上，我们列出力的平衡方程：

\begin{equation} \begin{aligned} &(\sigma_{xx} + \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} - \sigma_{xx}) \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} + (\tau_{yx} + \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} - \tau_{yx}) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{z} \\ &+ (\tau_{zx} + \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z} \,\mathrm{d}{z} - \tau_{zx}) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} + f_x \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{=} 0~. \end{aligned} \end{equation}

别看形式很复杂，其实就是把各个应力都加起来。化简后得 $$ \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z} + f_x = 0~. $$ 该结论可以推广至 $y$, $z$ 方向，因此我们一共可以列出 $3$ 个应力平衡方程。

　　如果约定以 $1$ 代表 $x$ 轴，$2$ 代表 $y$ 轴，$3$ 代表 $z$ 轴，那该结论可以写为更优雅、紧凑的形式：

定理 1　应力平衡方程

　　 $$ \sum_{i=1}^3 \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_i} + f_j=0~ \qquad (j=1,2,3)~. $$

图 5：总表面力（应力）等于总体力

　　如果你对数学与物理具有足够的热枕与敏锐，那么还有另一种简洁的方式说明应力平衡定律：如图 5 所示，我们在物体中任选取一个体积。由于这个体积受力平衡，所以这个区域受的总表面力（应力）等于总体力。 $$\oint \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} S + \int \boldsymbol{\mathbf{f}} \,\mathrm{d}{V} = 0~.$$ 运用散度定理 $$\int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \,\mathrm{d}{V} + \int \boldsymbol{\mathbf{f}} \,\mathrm{d}{V} = 0~.$$ 由于体积是任意选取的，因此 $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} + \boldsymbol{\mathbf{f}} = 0~.$$ 该结论形式上与我们之前得到的平衡方程是一致的，尽管应力实际上是张量而不是简单的矢量，因此具体的数学过程更为复杂。

3. 应力的宏观效果

　　以上讨论了一个微元体的受力。那微元体上的应力是如何和截面上的总内力联系起来呢？答案是总内力等于各微元体应力的累和。

　　例如，宏观拉力 $F = \iint \sigma_x dA~.$

图 6：拉力

　　力偶 $F = \iint y\sigma_x dA~.$

图 7：力偶

　　此外，叠加原理依旧适用。假如某截面处的内力既包括拉力、又包括力偶，那某点处的内应力是拉力、力偶单独存在时的内应力之和：

图 8：叠加原理.仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials

　　那么反过来，我们怎么从截面上的总内力得到各微元体上的应力、即截面上 “具体一点处” 的受力呢？很遗憾，这没有普适的简单方法；但材料力学已经分析了材料的几类常见受力情况，并建立了相应模型，运用这些模型（俗称套公式）就可以计算相应的应力。

1. ^ 本文参考自 P. Beer 的 Mechanics of Materials 与陆万明的《弹性力学》
2. ^ 这要求材料是 “无限可分” 的，并且每一小块还能维持物理性质不变。这当然是不“现实”的，不过在初步的学习中，这是一个好的简化近似。
3. ^ 有时不在符号上区分 $\sigma$ 与 $\tau$，并统称为应力
4. ^ 不同作者可能选取不同的约定

应力

例 1 弯曲的棍