应力

贡献者： ACertainUser

本文存在未完成的内容。

　　对于一块材料，我们很容易用截面法分析出材料某一截面上的受力情况；但是，截面法只能告诉我们整个截面的 “总内力”，却不能告诉我们截面上 “具体一点处” 的受力。事实上，在不少情况下，材料各处的受力是不一样的。

例 1　弯曲的棍

图 1：弯曲的棍

　　如图 1 所示，可以直观地看出，棍上部与下部的变形程度不同：上方区域被压缩，而下方区域被拉伸。在这种情况（以及其他许多情况）下，材料各处的应力不同，不能再笼统地说 “材料所受的应力为...”，至少得说 “材料...处的应力为...”。

1. 微元体与应力

　　为了更好地处理材料某处的受力，类似于微积分中 “划分小块体积” 的思想，我们假定材料是由无数小正方形块组成的²，每一小块被称作 “微元体 Element”。这样，材料每一点处的受力就转换为相应处一个微元体的受力。

图 2：三维微元体。仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials

应力

　　为了更好地刻画微元体受力的 “局域性”，类似于密度 $ρ = \frac{d m}{d V}, d m = ρ d V$ 等概念，我们引入应力的概念。

定义 1　正应力、切应力、体力

　　微元体所受的力可以分为两类，一类作用在微元体的表面上，另一类作用在微元体的体积内。作用在表面上的力源于作用在宏观物体表面的力（感觉有点像废话！），例如杆件之间互相支持而产生的拉、压力等；而作用在体积上的力源于作用在宏观物体内部的力，例如杆件的重力等。

　　在微元体的一个面上，定义垂直于表面的 “力” 为正应力 $σ$ 、平行于表面的 “力” 为切应力 $τ$ 。³

　　正应力： $σ_{i i} = \frac{d F_{i i}}{d A}, d F_{i i} = σ_{i i} d A .$

　　切应力： $τ_{i j} = \frac{d F_{i j}}{d A}, d F_{i j} = τ_{i j} d A .$

　　在微元体的体内，定义体力： $f_{i} = \frac{d F_{i}}{d V}$

　　 $d F_{i j}$ 表示微元体这个面上 “分担” 的内力， $d A$ 表示这个微元体这个面的表面积， $d V$ 表示微元体的体积。类似于微积分的思想，当微元体足够小时，微元体表面上不同处的受力大小也趋于一致。

　　 i 表示这个力的作用面的法方向，j 表示这个力的方向⁴。

三维情况

　　如图 2 ，微元体的每一个面上可以受 $3$ 个力，包括一个垂直于表面的力与两个平行于表面的力。看起来，一个微元体的表面上共有 $3 \times 6 = 18$ 个力；但考虑到微元体处于静力平衡（子节 6 ），事实上一个微元体上只有 6 个相互独立的力。具体的论证过程比较繁琐，按惯例留给读者作为练习。

未完成：补充证明

　　一个微元体的受力情况可以记为一个三阶矩阵（也称应力张量）。应力张量完整地描述了一点处物体的应力。

\begin{matrix} (1) & σ = [\begin{matrix} σ_{x x} & τ_{x y} & τ_{x z} \\ τ_{y x} & σ_{y y} & τ_{y z} \\ τ_{z x} & τ_{z y} & σ_{z z} \end{matrix}] . \end{matrix}

　　这个矩阵是对称的，即 $τ_{x y} = τ_{y x}, τ_{x z} = τ_{z x}, τ_{y z} = τ_{z y}$ 。六个独立的力可以分别选取 $σ_{x x}, σ_{y y}, σ_{z z}, τ_{x y}, τ_{x z}, τ_{y z}$ 。

二维情况

图 3：二维微元体.仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials

　　二维情况下的微元体更为简单。每一个面上只受一个正应力与一个切应力，共受 $2 \times 4 = 8$ 个力，但只有 $3$ 个相互独立的力。此时受力情况可以记为一个二阶矩阵，这个矩阵也是对称的：

\begin{matrix} (2) & σ = [\begin{matrix} σ_{x x} & τ_{x y} \\ τ_{y x} & σ_{y y} \end{matrix}] . \end{matrix}

这三个力可以分别选取

σ_{x x}, σ_{y y}, τ_{x y}

。

2. 应力平衡方程

图 4：

x

方向上的力

　　对一个微元体运用力平衡定律，可以得到一些有趣的结论。在 $x$ 方向上，我们列出力的平衡方程：

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} (σ_{x x} + \frac{\partial σ_{x x}}{\partial x} d x - σ_{x x}) d y d z + (τ_{y x} + \frac{\partial σ_{y x}}{\partial y} d y - τ_{y x}) d x d z \\ + (τ_{z x} + \frac{\partial σ_{z x}}{\partial z} d z - τ_{z x}) d x d y + f_{x} d x d y d = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

别看形式很复杂，其实就是把各个应力都加起来。化简后得

\frac{\partial σ_{x x}}{\partial x} + \frac{\partial σ_{y x}}{\partial y} + \frac{\partial σ_{z x}}{\partial z} + f_{x} = 0 .

该结论可以推广至

y

z

方向，因此我们一共可以列出

3

个应力平衡方程。

　　如果约定以 $1$ 代表 $x$ 轴， $2$ 代表 $y$ 轴， $3$ 代表 $z$ 轴，那该结论可以写为更优雅、紧凑的形式：

定理 1　应力平衡方程

　　 $\sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial σ_{i j}}{\partial x_{i}} + f_{j} = 0 (j = 1, 2, 3) .$

图 5：总表面力（应力）等于总体力

　　如果你对数学与物理具有足够的热枕与敏锐，那么还有另一种简洁的方式说明应力平衡定律：如图 5 所示，我们在物体中任选取一个体积。由于这个体积受力平衡，所以这个区域受的总表面力（应力）等于总体力。 $\oint σ \cdot d S + \int f d V = 0 .$ 运用散度定理 $\int \nabla \cdot σ d V + \int f d V = 0 .$ 由于体积是任意选取的，因此 $\nabla \cdot σ + f = 0 .$ 该结论形式上与我们之前得到的平衡方程是一致的，尽管应力实际上是张量而不是简单的矢量，因此具体的数学过程更为复杂。

3. 应力的宏观效果

　　以上讨论了一个微元体的受力。那微元体上的应力是如何和截面上的总内力联系起来呢？答案是总内力等于各微元体应力的累和。

　　例如，宏观拉力 $F = \iint σ_{x} d A .$

图 6：拉力

　　力偶 $F = \iint y σ_{x} d A .$

图 7：力偶

　　此外，叠加原理依旧适用。假如某截面处的内力既包括拉力、又包括力偶，那某点处的内应力是拉力、力偶单独存在时的内应力之和：

图 8：叠加原理.仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials

　　那么反过来，我们怎么从截面上的总内力得到各微元体上的应力、即截面上 “具体一点处” 的受力呢？很遗憾，这没有普适的简单方法；但材料力学已经分析了材料的几类常见受力情况，并建立了相应模型，运用这些模型（俗称套公式）就可以计算相应的应力。

1. ^ 本文参考自 P. Beer 的 Mechanics of Materials 与陆万明的《弹性力学》
2. ^ 这要求材料是 “无限可分” 的，并且每一小块还能维持物理性质不变。这当然是不“现实”的，不过在初步的学习中，这是一个好的简化近似。
3. ^ 有时不在符号上区分 $σ$ 与 $τ$ ，并统称为应力
4. ^ 不同作者可能选取不同的约定

应力

例 1 弯曲的棍