斜面应力公式

                     

贡献者： ACertainUser

　　¹

　　 在应力中，我们已经处理了微元体上的应力问题。那么新的问题来了，如图 1 所示，假设我们已经在某个坐标系中算出了微元体的各个应力，如果我们在微元体中取一个切面，那么要如何计算这个切面上的应力？

　　 跨界大牛柯西给出了一个漂亮的回答，因此该公式也称柯西应力公式。柯西应力公式写成矩阵乘法的形式：

还可以写成更紧凑的张量乘法形式， 或指标形式 因为已经被投影，此处的 ${\mathit{\sigma }}_{\nu }$ 已经是一个矢量，而不是原先的张量。此外，斜面上的应力 ${\mathit{\sigma }}_{\nu }$ 不一定垂直于该平面，而可以朝任意方向。该公式的论证方法大致是在三角形台中运用力的平衡方程，此处按下不表。

　　 回过头来，我们思考一下，我们依据上文方法写出的 ${\sigma }_{\nu }=\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{\nu ,1}\\ {\sigma }_{\nu ,2}\\ {\sigma }_{\nu ,3}\end{array}\right)$ 中各个分量的含义是什么？显然（但又有点让人困惑），各个分量仍基于原先的坐标系，如图 2 所示。

　　 我们写出斜面所受应力，总希望他和斜面有点关系（而不是原先的坐标系）；因此，我们得想办法把它改写为和斜面有关系的、更 “直观” 的形式，例如表达为沿斜面法向与切向的应力。

　　 只需再做一步简单的向量投影就能实现这个目的：法向应力 ${\mathit{\sigma }}_n$ 即是 ${\mathit{\sigma }}_{\nu }$ 在 $\mathbf{n}$ 上的投影：

他的数值大小写成张量乘法的形式 而切向应力就是

　　 至此我们已经解决了文章开头的问题，剩下的只是繁琐的数学计算。不过，我们还可以额外思考另一个问题：如式 1 所示，柯西斜面应力公式相当于一个矩阵乘向量的矩阵乘法。 $${\sigma }_{\nu }=\sigma \cdot n.$$ 如果你的数理直觉足够敏锐，就会意识到这里存在一个矩阵的本征值与本征向量问题：存不存在一种 $n_0$，使 $$\sigma \cdot n_0=\lambda n_0.$$？ 更进一步的思考后，你会发现如果 $n_0$ 存在，那么 ${\mathit{\sigma }}_{\nu }=\lambda {\mathbf{n}}_0$ 将平行于 ${\mathbf{n}}_0$，也即在这个面上将只有正应力。那么，$n_0$ 将是一个很特殊的平面。到这一步，你其实就已经想明白了主应力问题。

---

1. ^ 本文参考了陆明万的《弹性力学》。