简单刚体系统的静力学分析

贡献者： ACertainUser

　　¹本文简要介绍分析简单平面刚体系统的静力学分析。

1. 轻绳与轻杆模型

轻绳

图 1：轻绳提供沿绳方向的力

　　拉紧的轻绳只能受拉而不能受压。

　　拉紧的轻绳向与其相连的刚体提供拉力，但不能提供压力（轻绳不能被压缩）；如果轻绳被拉直，那么轻绳提供的拉力方向总是平行于绳。

轻杆

图 2：轻杆提供的力不一定平行于杆

　　轻杆可以受压或受拉，同时轻杆提供的力的方向也不一定平行于轻杆。

2. 常见约束条件

接触面 Surface Constraint

图 3：接触面的支持力总是垂直于公切线

　　放置于平坦接触面的刚体受一个垂直于公切面的支持力。如果接触面粗糙，还可以提供一个平行于接触面的静摩擦力。

小车模型 Roller Support

图 4：小车提供垂直接触面的力

　　小车可以为与其相连的杆提供一个垂直接触面向上的支持力，但是不能提供一个垂直表面向下的拉力；如果接触面是粗糙的，那还能提供一个平行于接触面的静摩擦力。

铰链模型 Fixed Hinge

图 5：铰链提供任意方向的力

　　铰链可以为与其相连的杆提供一个任意方向的力，但是不能提供力偶。在初步的受力分析中，力的方向不能确定，因此可以先记为两个互相垂直的分力。

钉子模型 Fixed Rod

图 6：钉子提供力偶与任意方向的力

　　杆钉入墙中的部分可以提供一个任意方向的力与一个力偶。同铰链一样，力的方向无法立刻确定，先记为两个互相垂直的分力。

3. 系统、内力与外力

图 7：灵光一现（图片来自 Pixabay）

　　你或许已经了解过系统、内力与外力的相关内容。不过，在此之前，你最好复习一下相关概念。

　　系统是指人为选定的一组物体、组件。系统的选取是任意的，即你应该根据具体问题的不同，以适合解决问题的方式来选取系统。有时，为了研究方便，我们还能在系统中再选取子系统，并分析各个子系统之间的相互作用。例如，我们可以选取灯泡（以及其中的灯丝、装填的惰性气体等）作为一个系统。

　　内力指受力与施力物体均在系统之内的力。例如，灯头对灯丝施加对支持力就是内力，因为灯头与灯丝都在灯泡这一系统内。

　　而外力的施力物体在系统之外。例如，灯泡所受的重力（施力物体是地球，在系统之外），电线对灯泡的拉力（施力物体是电线，也在系统之外）都是外力。

　　我们将在下文探讨为何要选定系统。

4. 主动力与约束力

　　先简要定义约束力与主动力：

图 8：主动力与约束力

约束力：由于约束条件而产生的力，例如桌面对物体产生的支持力，绳子对物体提供的拉力等。
主动力：由于其他外界因素而产生的力，例如重力、外加的压力等。

5. 受力分析

　　总体思路是系统法与隔离法，即先分析系统的整体受力，再逐个分析系统内各个组件的受力。分析系统受力不是一蹴而就，经常是一个反复试错、修正的过程。

先把系统视作一个整体，进行受力分析。此时，系统中各刚体之间的约束力是内力，均可被忽略。可以想象将系统装进一个箱子，这样外界就只看到了一个箱子以及与箱子连接的部分，而对箱子内部的情况一无所知。这样，我们就能暂时不用考虑系统中各组件间复杂的内力。例如，分析灯泡整体的受力时，由于灯泡内部灯头对灯丝施加的支持力等都是内力，因此暂不需考虑。

图 9：先把系统视作一个整体，进行受力分析。例如，此处灯泡所受的外力是向下的重力与电线向上的拉力
随后逐个分析系统内各个组件的受力。一般而言，先分析受到主动力的组件，以及只受两个力的组件（由二力平衡定理立刻得知该两力等大、反向、作用点共线）。
在分析一个组件时，标注主动力，

图 10：“标注主动力”
并根据约束条件标注约束力（注意到，此时系统中其他组件对该组件的约束力不能再被忽视），

图 11：“标注约束力”
最终根据刚体平衡条件计算，并得到各个约束力。

　　 特别要注意的是，根据牛顿第三定律，若 A 对 B 施加约束力，那么 B 对 A 也会施加一个等大反向的约束力。也就是说，若 A 对 B 施加的约束力已被确定，那么 B 对 A 施加的约束力也随之确定。标注组件的约束力时必须注意到这一点，以避免引入多余变量。

6. 静力平衡方程

预备知识　刚体的静力平衡

　　当系统处于静力平衡时，其中每一个刚体都处于静力平衡。而对于一个刚体，处于平衡的条件是合力为 0，且力矩和为 0。或许你已经知道，若合力为 0 但力矩和不为 0，那么刚体会开始加速旋转。

合力

　　对于合力，一般把所有力分解至水平与竖直方向，在这两个方向上的合力分别为 0. 力是有方向的，在这种平面情况下，以正负号代表方向。可选取水平向右、垂直向上为正方向。

\begin{equation} \sum F_x=\sum F_y=0~. \end{equation}

如果一个力的计算结果是负数，那么说明力的实际方向与假定的相反。

力矩和

　　对于力矩和，一般选取未知力较多的点作为参考点，因为作用点在该点上的未知力关于该点的力矩均为 0。同时，计算力矩时，也是一般把力分解至水平与竖直方向，分别计算力矩。力矩也是有方向的，在这种平面情况下，以正负号代表方向。可使用右手法则确定力矩的正负：拇指放在参考点，四指指向力的方向。拇指向纸面内为正，朝纸面外为负。

\begin{equation} \sum M=0~. \end{equation}

有时，也可以选取多个不同的点作为参考点，并列出多个力矩和方程。

例 1　框架结构的受力

图 12：框架结构

　　如图，杆的重力均不计，分析框架的受力

　　先分析系统的整体受力。但此时未知力太多，无法得到有价值的信息。

图 13：AB 杆受力

　　再分析 AB 杆的受力。显然，AB 杆只受两个力（分别由两个铰链提供），根据二力平衡定理，两力等大、反向、作用点共线。

图 14：BC 杆受力

　　再分析 BC 杆的受力。注意根据牛顿第三定律，B 处力的方向已经可以确定。

　　最后，根据各组件力的平衡条件列方程组，即可解得 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _A, \boldsymbol{\mathbf{F}} _B, \boldsymbol{\mathbf{F}} _C$。例如，在 BC 杆中，可列出平衡方程：

　　 x 方向合力为 0: $F_{Cx}-P-F_{B} \cos \theta=0~.$

　　 y 方向合力为 0: $F_{Cy}-P-F_{B}\sin \theta=0~.$

　　关于 C 点的力矩和为 0: $P \cdot l_{CP} + F_{By} \cdot l_{CB} = 0~.$

　　共有 3 个未知量（$F_{Cx}, F_{Cy}, F_B$）与 3 个方程，原则上可以解出全部未知力。

1. ^ 本文参考了张娟著《理论力学》.