闵可夫斯基空间

                     

贡献者： JierPeter; 叶月2_

预备知识　时空的四维表示，度量空间

1. 时空间隔

　　 经典力学讨论的时空是一个欧几里得空间，不同惯性系之间的伽利略变换是一个保度量变换，即时空点之间的度量在变换前后不变。但是相对论下的欧几里得度量不再是不变的，两个时空点之间的度量，在洛伦兹变换后一般会变化。不过相对论里有另一个类似欧几里得度量的东西，它在洛伦兹变换下保持不变。

习题 1　洛伦兹不变量

　　

　　 给定参考系 $K_1$ 和 $K_2$，其中 $K_2$ 相对 $K_1$ 以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} =(v,0,0)^T$ 运动。假设有两个事件，它们在 $K_1$ 中的四位置分别为 $(t_1, x_1, y_1, z_1)$ 和 $(t_2, x_2, y_2, z_2)$，在 $K_2$ 中的四位置分别为 $(t_1', x_1', y'_1, z'_1)$ 和 $(t'_2, x'_2, y_2', z_2')$。请利用洛伦兹变换，通过计算证明

\begin{equation} \begin{aligned} &(t_1-t_2)^2-(x_1-x_2)^2-(y_1-y_2)^2-(z_1-z_2)^2\\=&(t_1'-t_2')^2-(x'_1-x'_2)^2-(y_1'-y'_2)^2-(z'_1-z_2')^2~. \end{aligned} \end{equation}

　　 由习题 1 可知，在任何惯性参考系中，$\sqrt{|-(t_1-t_2)^2+(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2|}$ 都是不变的。我们把这个量记为 $\Delta S$，称为两事件之间的时空间隔（interval）。

2. 闵可夫斯基度规

　　 我们知道，$n$ 维欧几里得空间是 $n$ 个实数集合的笛卡尔积，配上用勾股定理定义的度量所得到的。这样的度量，在物理学上称为欧几里得度规。闵可夫斯基给四维时空定义了一个新的度规，即时空间隔。以时空间隔作为度规的四维空间，被称为闵可夫斯基空间。

　　 时空间隔并不是数学意义上的度量（定义 1 ），因为它无法满足正定性，三角不等式也普遍不成立或不存在1。闵氏度规可看作一种广义内积的定义，用 $g_{\mu\nu}$ 或 $\eta_{\mu\nu}$ 表示闵氏度规张量，则是

\begin{equation} g_{\mu \nu}=( \begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&-1&0&0\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&0&-1&0\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&0&0&-1\end{pmatrix} )~. \end{equation}
或者写成矩阵形式，即 $g^{\mu}_{\nu}= \operatorname {diag}(1,-1,-1,-1)$，则 $x^Tgx$ 表示列矢量在闵氏空间中的广义内积。有些教材里会把闵氏度规定义为 $g^{\mu}_{\nu}= \operatorname {diag}(-1,1,1,1)$，在物理场景上的应用是等价的。

　　 另一种看待闵可夫斯基度规的方法是，把四维时空看成复数集合的笛卡尔积，依然使用勾股定理所定义的度量，但是把时间看成必须是纯虚数。也就是说，事件的时间为 $t$ 的时候，其在时间轴上的坐标是 $ \mathrm{i} t$。这样一来，就可以把事件 $( \mathrm{i} t, x, y, z)$ 的范数写成 $\sqrt{( \mathrm{i} t_1- \mathrm{i} t_2)^2+(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$，形式上和实数欧几里得空间的欧几里得范数是一样的，只不过用的是复数；进而得到形式上的 “复” 欧几里得度量。需要特别注意的是，闵可夫斯基度规并不能看成酉空间中的四维复数度量。

1. ^ 时空间隔不是实数的时候，无法比较大小。

                     

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