斜坐标系表示洛伦兹变换

贡献者： addis; JierPeter

预备知识　洛伦兹变换，斜坐标系

1. 洛伦兹变换的斜坐标表示

　　一维空间的洛伦兹变换表述为

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} x^{'} = \frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} \\ t^{'} = \frac{t - v x / c^{2}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} \end{aligned} . \end{matrix}

　　如果把 $(x, t)$ 作为直角坐标系，尝试用斜坐标系来表示 $x^{'}$ 和 $t^{'}$ ，那么我们需要确定四个关键参数：斜坐标轴的斜率 $T_{x}$ 和 $T_{t}$ ，以及其拉伸比例 $r_{x}$ 和 $r_{t}$ 。

　　如果用直角坐标表示铁轨系中的事件坐标，那么这些事件在火车系中的坐标可以一个斜坐标系来表示。将一维空间洛伦兹变换的表达式和斜坐标系的坐标转换进行比较，推导出这个斜坐标系的坐标轴斜率和拉伸比例。

　　答案如图所示。

图 1：洛伦兹变换的斜坐标表达，其中

\tan θ = v / c

，两坐标轴的拉伸比例均为

\sqrt{(1 + v^{2} / c^{2})} / \sqrt{(1 - v^{2} / c^{2})}

。