斜坐标系表示洛伦兹变换

贡献者： addis; JierPeter

预备知识　洛伦兹变换，斜坐标系

1. 洛伦兹变换的斜坐标表示

　　一维空间的洛伦兹变换表述为

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\ &t' = \frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \end{aligned}\right. ~. \end{equation}

　　如果把 $(x,t)$ 作为直角坐标系，尝试用斜坐标系来表示 $x'$ 和 $t'$，那么我们需要确定四个关键参数：斜坐标轴的斜率 $T_x$ 和 $T_t$，以及其拉伸比例 $r_x$ 和 $r_t$。

习题 1　

　　如果用直角坐标表示铁轨系中的事件坐标，那么这些事件在火车系中的坐标可以一个斜坐标系来表示。将一维空间洛伦兹变换的表达式和斜坐标系的坐标转换进行比较，推导出这个斜坐标系的坐标轴斜率和拉伸比例。

　　答案如图所示。

图 1：洛伦兹变换的斜坐标表达，其中 $\tan{\theta}=v/c$，两坐标轴的拉伸比例均为 $\sqrt{(1+v^2/c^2)}/\sqrt{(1-v^2/c^2)}$。