罗德里格旋转公式、定轴旋转矩阵

贡献者： addis

预备知识　三维旋转矩阵，圆周运动的速度，矢量叉乘

　　¹三维空间中，某点 $r = (x, y, z)^{T}$ 以单位矢量 $\hat{A} = (A_{x}, A_{y}, A_{z})^{T}$ 为轴按右手定则转动 $θ$ 角的得到的点 $r^{'} = (x^{'}, y^{'}, z^{'})^{T}$ 可用罗德里格斯旋转公式（Rodrigues' rotation formula）计算：

\begin{matrix} (1) & r^{'} = r \cos θ + \hat{A} \times r \sin θ + \hat{A} (\hat{A} \cdot r) (1 - \cos θ), \end{matrix}

其中

\cdot

表示点乘。令该旋转的三维旋转矩阵

R_{θ}

，则

\begin{matrix} (2) & r^{'} = R_{θ} r . \end{matrix}

从式 1 可得

\begin{matrix} (3) & R_{θ} = (\begin{matrix} a A_{x}^{2} + c & a A_{x} A_{y} - s A_{z} & a A_{x} A_{z} + s A_{y} \\ a A_{y} A_{x} + s A_{z} & a A_{y}^{2} + c & a A_{y} A_{z} - s A_{x} \\ a A_{z} A_{x} - s A_{y} & a A_{z} A_{y} + s A_{x} & a A_{z}^{2} + c \end{matrix}) . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (4) & c = \cos θ, s = \sin θ, a = 1 - \cos θ . \end{matrix}

另外也可以用四元数表示该矩阵。

1. 推导

　　推导的思路是用 $\hat{A}$ , $r$ 和 $θ$ 三个已知量经过数乘，内积和叉乘三种运算，表示出旋转后的矢量 $r^{'}$ ，再拆成三个分量，即可得到线性变换，进而写出矩阵。注意该思路与推导平面旋转矩阵的思路不一样。

图 1：定轴旋转矩阵的推导

　　如图， $r$ 绕单位矢量 $\hat{A}$ 旋转 $θ$ 角后得到 $r^{'}$ 。 $r$ 在 $\hat{A}$ 方向投影得到的矢量为

\begin{matrix} (5) & r_{3} = (\hat{A} \cdot r) \hat{A}, \end{matrix}

在与

\hat{A}

垂直方向的分量为

\begin{matrix} (6) & r_{1} = r - r_{3} . \end{matrix}

为了构成一组正交基底，令

\begin{matrix} (7) & r_{2} = \hat{A} \times r_{1}, \end{matrix}

则

r_{2}

相当于

r_{1}

绕

\hat{A}

旋转

90^{\circ}

。现在有了正交的

r_{1}

r_{2}

就可以表示出

r_{1}

绕

\hat{A}

旋转

θ

角后的结果

\begin{matrix} (8) & r^{'} - r_{3} = r_{1} \cos θ + r_{2} \sin θ, \end{matrix}

即

\begin{matrix} (9) & r^{'} = r_{1} \cos θ + r_{2} \sin θ + r_{3} . \end{matrix}

将式 5 式 6 式 7 代入式 9 ，即可求出式 1 。把结果写成分量的形式，化简可得到式 2 。

2. 由旋转矩阵推导出匀速圆周运动的线速度

　　我们可以用旋转矩阵得到 $v = ω \times r$ （式 5 ），这也验证了旋转矩阵的正确性。

　　在无穷小的时间 $t$ 内，点 $P$ 绕轴转过 $θ$ 角，则 $θ = ω t \to 0$ ，此时有 $\sin θ \to θ$ 和 $\cos θ \to 1$ 。旋转矩阵变为

\begin{matrix} (10) & R_{θ} = (\begin{matrix} 1 & - A_{z} θ & A_{y} θ \\ A_{z} θ & 1 & - A_{x} θ \\ - A_{y} θ & A_{x} θ & 1 \end{matrix}) . \end{matrix}

下面

R_{θ}

乘以某点的列矢量，得到变换后的坐标，再减掉变换前的坐标，得位移矢量

s

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} s & = v t \\ = (\begin{array}{c} 1 & - A_{z} θ & A_{y} θ \\ A_{z} θ & 1 & - A_{x} θ \\ - A_{y} θ & A_{x} θ & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}) - I (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}) \\ = θ (\begin{array}{c} 0 & - A_{z} & A_{y} \\ A_{z} & 0 & - A_{x} \\ - A_{y} & A_{x} & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}) \\ = θ \hat{A} \times r = (ω t) \times r . \end{aligned} \end{matrix}

两边除以

t

，得

v = ω \times r

。另见 “旋转矩阵的导数” 的习题 1 。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。