四元数与旋转矩阵

贡献者： addis; JierPeter

预备知识　旋转矩阵的导数，四元数，罗德里格旋转公式、绕轴旋转矩阵

　　四元数可以用来简洁地表示三维空间中的旋转，极大地减少了计算量。所有模长为 $1$ 的四元数 $q$ 与所有可能的（绕原点的）三维旋转存在一一对应关系。

　　三维空间中的一个向量表示为标部为 $0$ 的四元数： $(\begin{matrix} 0, v \end{matrix})$ ，简记为 $v$ 。如果我们绕着一个单位向量 $\hat{n}$ 把 $v$ 旋转一个角度 $θ$ ，所得的结果应该是哪个向量呢？任意模长为 $1$ 的四元数都可以表示为

\begin{matrix} (1) & q = (\cos \frac{θ}{2}, \hat{n} \sin \frac{θ}{2}) . \end{matrix}

那么旋转后的向量

v^{'}

就可以表示为

\begin{matrix} (2) & v^{'} = q v q^{- 1} = q v \tilde{q} . \end{matrix}

其中

q^{- 1}

表示

q

的逆，

\tilde{q}

表示

q

的共轭（定义 2 ），满足

q q^{- 1} = q^{- 1} q = (1, 0, 0, 0)

，易证

\begin{matrix} (3) & q^{- 1} = \tilde{q} = (\cos \frac{- θ}{2}, \hat{n} \sin \frac{- θ}{2}) = (\cos \frac{θ}{2}, - \hat{n} \sin \frac{θ}{2}), \end{matrix}

表示绕

\hat{n}

旋转

- θ

。

　　例如当 $θ = 0$ 时， $q = (1, 0, 0, 0)$ 是单位元， $q v q^{- 1} = v$ 。又例如取 $v = (0, 1, 0, 0)$ ，它代表一个 $x$ 轴上的单位向量。如果想要把它绕着 $z$ 轴上的单位向量转 $π / 2$ ，那么结果向量的四元数表示应该是 $(0, 0, 1, 0)$ 。按照我们定义的规则，旋转表示为四元数 $q = (\sqrt{2} / 2, 0, 0, \sqrt{2} / 2)$ ， $q^{- 1} = \tilde{q} = (\sqrt{2} / 2, 0, 0, - \sqrt{2} / 2)$ ，按照四元数的乘法规则易得 $q v q^{- 1} = (0, 0, 1, 0)$ 。

证明

　　直接计算式 2 得（使用连续叉乘的化简以及三角降幂公式）：

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} q v q^{- 1} & = (\cos \frac{θ}{2}, \hat{n} \sin \frac{θ}{2}) \cdot (0, v) \cdot q^{- 1} \\ = (- v \cdot \hat{n} \sin \frac{θ}{2}, v \cos \frac{θ}{2} + \hat{n} \times v \sin \frac{θ}{2}) \cdot (\cos \frac{θ}{2}, - \hat{n} \sin \frac{θ}{2}) \\ = (0, \cos θ v + (1 - \cos θ) \hat{n} (\hat{n} \cdot v) + \sin θ \hat{n} \times v), \end{aligned} \end{matrix}

这正是直接使用罗德里格旋转公式（式 1 ）使

v

绕

\hat{n}

旋转

θ

的结果。

　　一点补充：考虑到四元数限定向量方向时退化为复数（见四元数的讨论），故 $v ∥ \hat{n}$ 的情况其实可以直接套用复数的交换性来得到，即 $q v q^{- 1} = q q^{- 1} v = v$ 。

　　再来证明 $q$ 和三维旋转的一一对应关系：若 $q_{1}, q_{2}$ 表示同一个旋转，那么对任意 $v$ 都有

\begin{matrix} (5) & q_{1} v {\tilde{q}}_{1} = q_{2} v {\tilde{q}}_{2} . \end{matrix}

也就是对任意

v

都有

\begin{matrix} (6) & v = ({\tilde{q}}_{1} q_{2}) v \tilde{({\tilde{q}}_{1} q_{2})}, \end{matrix}

所以必定有

{\tilde{q}}_{1} q_{2} = 1

，即

q_{2} = {\tilde{q}}_{1}^{- 1} = q_{1}

。证毕。

1. 旋转的复合

　　四元数的乘法运算（式 3 ）可以把两次旋转合并为一次旋转。注意 $q_{2} q_{1}$ 表示先做 $q_{1}$ 的旋转，再做 $q_{2}$ 的旋转。另外易证 $(q_{2} q_{1})^{- 1} = q_{1}^{- 1} q_{2}^{- 1} = {\tilde{q}}_{1} {\tilde{q}}_{2}$ 。

　　由于一般来说四元数乘法不满足交换律，所以两次旋转也一般不能交换，除非两次转动的转轴（两四元数的矢部）共线。

　　证明：令 $v$ 经过 $q_{1}$ 旋转变为 $v^{'}$ ，再经过 $q_{2}$ 旋转变为 $v^{″}$ ，则

\begin{matrix} (7) & v^{″} = q_{2} v^{'} q_{2}^{- 1} = q_{2} (q_{1} v q_{1}^{- 1}) q_{2}^{- 1} = (q_{2} q_{1}) v (q_{1}^{- 1} q_{2}^{- 1}) = (q_{2} q_{1}) v (q_{2} q_{1})^{- 1}, \end{matrix}

证毕。

2. 旋转矩阵

　　令四元数 $q = (s, v)$ 表示绕 $\hat{v}$ 方向以右手定则旋转 $θ$ 的矩阵，其中

\begin{matrix} (8) & s = \cos \frac{θ}{2}, | v | = \sin \frac{θ}{2} . \end{matrix}

则对应的三维旋转矩阵（式 3 ）可以表示为

\begin{matrix} (9) & R = (\begin{matrix} 1 - 2 v_{y}^{2} - 2 v_{z}^{2} & 2 v_{x} v_{y} - 2 s v_{z} & 2 v_{x} v_{z} + 2 s v_{y} \\ 2 v_{x} v_{y} + 2 s v_{z} & 1 - 2 v_{x}^{2} - 2 v_{z}^{2} & 2 v_{y} v_{z} - 2 s v_{x} \\ 2 v_{x} v_{z} - 2 s v_{y} & 2 v_{y} v_{z} + 2 s v_{x} & 1 - 2 v_{x}^{2} - 2 v_{y}^{2} \end{matrix}) . \end{matrix}

特殊地，

θ = 0

时，四元数为

(1, 0, 0, 0)

，对应单位矩阵，无任何旋转。另外由上一节的分析可知，若

q_{i}

的旋转矩阵为

R_{i}

，那么

q_{1} q_{2}

对应的旋转矩阵就是

R_{1} R_{2}

。

3. 时间导数

　　若从坐标系 $B$ 到坐标系 $A$ 的基底变换矩阵为 $R$ ，当 $B$ 相对于 $A$ 绕原点以角速度 $ω$ 旋转时有（式 2 ）

\begin{matrix} (10) & \dot{R} = Ω R . \end{matrix}

其中

Ω

乘以任意位置矢量

r

等于

ω \times r

\begin{matrix} (11) & Ω = (\begin{matrix} 0 & - ω_{z} & ω_{y} \\ ω_{z} & 0 & - ω_{x} \\ - ω_{y} & ω_{x} & 0 \end{matrix}) . \end{matrix}

若旋转矩阵

R

对应的四元数为

q (t)

，则

\begin{matrix} (12) & \dot{q} = \frac{1}{2} (0, ω) q, \end{matrix}

这里的

\dot{q}

表示对四个标量中的每个分别求导。

　　推导：把 $q (t + Δ t)$ 分解为 $q (t)$ 和 $q_{1} (Δ t)$ 两次旋转，

\begin{matrix} (13) & \dot{q} = lim_{Δ t \to 0} \frac{q (t + Δ t) - q (t)}{Δ t} = lim_{Δ t \to 0} \frac{q_{1} (Δ t) - (1, 0, 0, 0)}{Δ t} q (t) . \end{matrix}

其中

q_{1} (t)

相当于以瞬时角速度

ω

旋转时间

t

\begin{matrix} (14) & q_{1} (t) = (\cos \frac{ω t}{2}, \hat{ω} \sin \frac{ω t}{2}) . \end{matrix}

注意

q_{1} (0) = (1, 0, 0, 0)

，所以式 13 中的极限就是

\begin{matrix} (15) & lim_{t \to 0} \frac{q_{1} (t) - q_{1} (0)}{Δ t} = {\dot{q}}_{1} (0) = \frac{1}{2} (0, ω) . \end{matrix}

代入式 13 得式 12 。